整函数

質問

実軸に関して対称となる整函数は定数以外にあるでしょうか？

多項式について考えたところ、定数に限られそうでしたので、
もう少し深く知りたい…ということでよろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

zの複素共役をconj(z)を書くことにします。

仮に f = f(z)が実軸に関して対称なら、f(z) = f(conj(z))なので、f(z) + f(conj(z)) = 2f(z)、つまり f(z) = (1/2) (f(z) + f(conj(z))となります。f(z) = f(conj(z))なので、f(conj(z))も整関数です。

何が言いたいかというと、 fが実軸に関して対称な整関数なら、あるgが存在し、
◯ g=g(z)は整関数
◯ g(conj(z))も整関数
◯ f(z) = g(z) + g(conj(z))とかける
という訳です。

従って、『果たして上のような gはどのようなものか？』というのが本質になります。ここから先は、一度ご自身で考えてみてください。

ヒント：g(z), g(conj(z))に対し、「Cauchy-Riemannの方程式が成り立つ」という強い制約があることを用いよ。

お礼

自分で色々考えていたら、gより前にfのままで以下のようになったのですが、大丈夫でしょうか？

実軸上の実数αに対して
f'(α)=lim[h→+0](f(α+ih)-f(α))/(ih)
つまり、αに向けてまっすぐ上から降りてくる。一方、αへ向かって下から昇っていってもいいはずで、
f'(α)=lim[h→-0](f(α+ih)-f(α))/(ih)
=lim[h→-0](f(α-ih)-f(α))/(ih) (∵f(z)=f(conj(z))
=lim[h→+0](f(α+ih)-f(α))/(ih)*(-1) (-hをあらためてhとおく)
=-f'(α)
∴f'(α)=0
αは任意と考えてよいから、f(z)は実軸上で定数である。
0に収束する実数列1,1/2,1/3,…,1/n,…に対してf(1/n)が定数であるから、一致の定理によりf(z)は定数である。

本質的にも考えてみたいので、コーシーリーマンの方程式は遥か忘却の彼方ですが、g(z)でも考えてみます。

回答No.3

tmppassenger

Cauchy-Riemannの関係式を使うと、そうなりますね。偏微分すると符号が反対になるので、結局u, vが xにもyにも依存しない、という結果が得られます。

お礼

ありがとうございました。
大変勉強になりました。

自分が思っていたよりもさらに一般的な事実に触れられて、ついでにコーシーリーマンも偏微分も思い出せて、本当の「勉強になりました」でした。

回答No.2

tmppassenger

その証明でも問題ないです。何れにせよ、一軸だけ考えればよい実数上の実数値関数ではなく、実軸方向、虚軸方向の両方を考えないといけないのが、関数の挙動に厳しい制限を与える、ということですね。

お礼

そもそもコーシーリーマンの方程式以前に偏微分が私にはむずかしいのですが…
以下の感じでいいのでしょうか？

g(z)、g(conj(z))ともに整関数とする。
g(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)
g(x-iy)=u(x,-y)+iv(x,-y)
コーシーリーマンの方程式より
∂u(x,y)/∂x=∂v(x,y)/∂y
∂u(x,y)/∂y=-∂v(x,y)/∂x
∂u(x,-y)/∂x=∂v(x,-y)/∂y
∂u(x,-y)/∂y=-∂v(x,-y)/∂x
が成り立つ。4つ目の等式から
-∂v(x,-y)/∂x
=∂u(x,-y)/∂y
=∂u(x,Y)/∂Y dY/dy　(-y=Yとした)
=-∂v(x,Y)/∂x (-1)　(2つ目の等式から)
=∂v(x,-y)/∂x
∴∂v(x,-y)/∂x=0, ∂u(x,Y)/∂Y=0
また、3つ目の等式から
∂u(x,-y)/∂x
=∂v(x,-y)/∂y
=∂v(x,Y)/∂Y dY/dy　(-y=Yとした)
=∂u(x,Y)/∂x (-1)　(1つ目の等式から)
=-∂u(x,-y)/∂x
∴∂u(x,-y)/∂x=0, ∂v(x,Y)/∂Y=0
以上よりu,vは定数である。
つまりg(z)は定数。