数学II 隅関数について

質問

お世話になっております。

隅関数の捉え方がイマイチハッキリしなくて困ってます。
例えば

y=2x^2 は、この一つ式だけで、y軸に関して対称な放物線を描きますが、
一方の y=2^x とy=(1/2)^x は、互いにy軸に関して対称な曲線となります。

この場合後者は、二つひっくるめて隅関数と言えるのでしょうか。

変な質問で申し訳ありませんが、アドバイス下さると嬉しいです。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

y=f(x)とするときf(-x)=f(x)が成り立つならば
y=f(x)は偶関数であると定義されます。
偶関数はY軸対称のグラフとなる関数とも言えます。

>y=2x^2
y=f(x)=2x^2とおくと
f(-x)=2(-x)^2=2x^2=f(x)なので
y=f(x)は偶関数(y軸対称)になります。
従ってy=2x^2は偶関数の定義を満たすので偶関数と言えます。

>y=2^x とy=(1/2)^x
これが偶関数と言いません。

y=g(x)=2^xとおくと
g(-x)=2^(-x)=(1/2)^x≠g(x)
従ってy=2^xは偶関数の定義を満たさないので偶関数ではない。

y=h(x)=(1/2)^xとおくと
h(-x)=(1/2)^(-x)=2^x≠h(x)
従ってy=(1/2)^xは偶感数の定義を満たさないので偶関数ではない。

g(-x)=h(x)=(1/2)^x,h(-x)=g(x)=2^xの関係にある関数y=g(x)=2^xとy=h(x)=(1/2)^xは
互いにy軸対称の関係にある関数と言います。

つまり
y=2^xをy軸に対称移動した関数がy=(1/2)^xであり、
逆に
y=(1/2)^xをy軸に対称移動した関数がy=2^xである
と言います。

お礼

なるほど。ただ「y軸に関して対称な関係にある」というだけですね。また、二次関数もx軸方向に平行移動してしまうと、f(-x)≠f(x)となりますから、やはり偶関数とは言えなくなりますね。

y軸に関して対称なのは、結果の上の性質であって、偶関数であることを満たすための条件ではない、ということですか。

分かりやすいアドバイスありがとうございました。

回答No.2

noname#158987

質問者さんの質問を言い換えると以下のようになると思います。
「偶関数で多価関数のものはあるか？」

たとえば、
y=2^x (x <0)
=(1/2)^x (x ≧0)
もしくは、
y=(1/2)^x (x <0)
=2^x (x ≧0)
とかなら、問題なく偶関数なんですが、多価関数となるとこの扱いをどうするかが問題になってきます。

wikipediaに以下に定義されています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A5%87%E9%96%A2%E6%95%B0
関数 f(x) が偶関数であるとは
f( － x) = f(x)
が任意の x について成立することである。

また、多価関数とは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E4%BE%A1%E9%96%A2%E6%95%B0
あるxに対して複数の値を返す関数
たとえば、
tan の逆関数である arctan について arctan(1) の値は π/4, 5π/4, －3π/4 などの複数の値をとる。

１．関数の中に多価関数を入れない場合
現代では関数というと、
１つのxに対して１つの値を返すものがそれとされているようです。
その場合、多価関数が関数とみなされないので、
偶関数でもないということになると思います。

２．関数の中に多価関数を入れる場合
関数の中に多価関数を入れるなら、
f( － x) = f(x)
が任意の x について成立するといえるでしょうか？
返ってくる値を集合で見たら、等号が成立する気もしますが、
複数返ってくる値のうち、ひとつを比べたら、等しいときもあればそうでないときもありますよね。
例として質問者さんの、二つひっくるめた関数でいうと、
x=1とx=-1でそれぞれ、y値が2と1/2がでてきます。
集合で見るなら　{2, 1/2} = {2, 1/2}　なので等しいですが、
集合の要素である2 や 1/2でみると、
2=2, 1/2 = 1/2 はなりたつけども、2=1/2はなりたたないので、
等号が成立しているといえるのだろうかと思っています。
なので、ここまで回答していて何なんですが、
２の場合は、自信がないです。
でも、大方、１の場合で数学はやっているようですから、
質問者さんの言われる関数は偶関数ではないのでしょう。

あと、回答者１さんの
g(y)ですが、ひっくるめた時点で多価関数になり、さきほどと問題として何も変わっていないです。
ですから、偶関数でないとするのが濃厚のように思います。
（ごめんなさい、けんか売るつもりはありません。）

お礼

ご回答ありがとうございます。かなり突っ込んだ内容で、今の私のレベルでは理解仕切れませぬ。

しかし、色々な捉え方があるのだなぁと改めて数学の奥深さや難しさを知る事が出来ました。

回答No.1

sphenis

xが変数のとき、
f(x)=f(-x)であるものを偶関数と呼びますから、『y=2^xとy=(1/2)^xをひっくるめた関数』は偶関数とは言えません。
しかしこの関数を、yを変数とした関数に変形する、つまりx=g(y)という式にしたときには、偶関数と言えます。
ちなみにこのx=g(y)は、『x=log[2](y)とx=log[1/2](y)をひっくるめた関数』となるでしょうね。

ついでに奇関数は、f(x)=-f(-x)であるものです。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

y軸に関して対称であること。と、隅関数。というのは、同値じゃないという事ですか。f(-x)=f(x)ならば隅関数というのは同値ですか。

補足

補足ですが、偶を隅と間違えてしまいました。すいません。