リュービルの定理を使うのでしょうか

質問

複素平面Ｃ上で、零点をとらない整関数の列fn(z)　n=1,2...
があり、fn(z)がC上でとある多項式q(z)に、広義一様収束するならば、q(z)は定数関数であることを
示したいです。

広義一様収束するので、
fnをk回微分したものは、q(z)をk回微分したものに　広義一様収束しますよね。

qが定数でない多項式であるとするならば、
何回か微分すれば、qは定数になります。

こんなことを使って証明するんだと思うんですが
どなたか方針を教えてください。

回答No.1

ramayana

厳密にチェックしたわけでありませんが、次の方針で証明できないでしょうか？

１　複素数 z に 1/z を対応させる写像は、 z ≠ 0 なる領域で広義一様連続。

２　よって、 整関数　fn(z) が C で多項式 q(z) に広義一様収束するならば、1/fn(z) は、 1/q(z) に広義一様収束する。

３　fn(z) が C 上に零点を持たないから、 1/fn(z) は、 C 上で整関数。よって、その広義一様収束の極限である 1/q(z) も C 上で整関数。

４　もし、 q(z) が定数でなければ、 q(z) は C 上に零点を持つ。すると、その点は、 1/q(z) の極になる。これは、３と矛盾する。ゆえに q(z) は定数でなければならない。