2/(√(6＋√35))の有理化は不定？

質問

入試問題のようですが、解が複数出るとかで、大いに悩んでいます。m=14以外の値が考えられるものでしょうか、どなたか教えていただけませんか。できましたら、この週末に。どうかよろしくお願いします。

【問題】自然数mとnについて、等式
2/(√(6＋√35))＝√mー√n が成り立つとき、mの値を求めよ。
〈m=14、n＝10 以外に？〉

回答No.6

CygnusX1 · ベストアンサー

別の解き方

35 は 5 × 7 で、5 + 7 = 12 なので、
分母の√の中
6 + √35
= (12 + 2√35) / 2
= (√7 + √5)^2 / 2

2 / (√(6 + √35))
= 2 / √((√7 + √5)^2 / 2)
= 2 √2 / (√7 + √5)
= 2 √2 (√7 - √5) / (7 - 5)
= √2 (√7 - √5)
= √14 - √10

お礼

別解までもありがとうございました。

回答No.5

staratras

別解です。
2/(√(6＋√35))=x
2/(√(6-√35)))=y とおきます。x,y＞0　かつy＞x

xy=4/√(36-35)=4
x^2+y^2=4/(6＋√35)+4/(6-√35)=48 だから
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=56 x,y>0　よりx+y>0　だから
x+y=√56=2√14

したがってx,yは2次方程式t^2-(2√14)t+4=0　の２つの解
t=√14±√10　x<y　だからx=√14-√10
∴m=14,n=10

お礼

スッキリした解法ですね。本当にありがとうございます。

回答No.4

CygnusX1

No.2 です。すみません、二つ抜けてました。
28, 5
20, 7

結果は変わりませんけど

回答No.3

gamma1854

2/(√6+√35)
=2√(6+√35)/(6+√35)
=2√(6 - √35)
=2{√(12 - 2√35)/2}
=2{√7 - √5}/√2
=√14 - √10.
ということです。
※当然、この他にはありません。

回答No.2

CygnusX1

2 / (√(6 ＋ √35))＝√m ー √n
両辺を自乗します。
4 / (6 + √35) = m - 2√(m n) + n
左辺の分子、分母に 6 - √35 を掛けると
4 (6 - √35) / (36 -35) = m - 2√(m n) + n
24 - 4√35 = m + n - 2√(m n)
これから
m + n = 24
2√(m n) = 4√35 → m n = 140
140 = 2 * 2 * 5 * 7
これから考えられる m, n は
140 , 1
70, 2
35, 4
14, 10

足して 24 になるのは 14, 10 だけ、
ですよね

回答No.1

asuncion

＞複数出るとか
出るとか、っていうのは何がソースですか？
だれかがそう言ってた？
入試問題の解答解説にそう載ってた？

お礼

知人から持ち込まれたもので、そのソースは不明です。すみません。やはり、解は一つですね。ありがとうございます。