大至急お願いします

質問

高校数学の問題です。

nを自然数とする。次の等式、不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
1・2+2・3+3・4+・・・+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

詳しい証明宜しくお願い致します。

回答No.1

ninoue · ベストアンサー

学校で習われているはずですから、まず教科書を復習して下さい。
或いは一般的事項についてはネット上に解説、例題、演習問題等がたくさん見つかります。
"数学的帰納法" 等としてサーチして下さい。

またGoogleなどでサーチするとそのトップに
"他のキーワード:" 　として　""+例題、+証明、+問題、なども出ていますね。
その他のキーワードとしては、解説、演習問題等を組み合わせてサーチしたりしています。

まずWikipedia: 数学的帰納法の項に　
"数学的帰納法の例" として　0からnまでの整数の和の例が出ています。
これを辿って下さい。

問題では　最初の項(の和) が成立しています。
1・2 = 1・2・3/3
次に次式が成立していると仮定して、
1・2 + ... +n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
左辺に次の項: (n+1)・(n+2) を加えた時、　右辺が　(n+1)・(n+2)・(n+3)/3 となる事が証明できれば良いわけです。

すなはち、次の式が成立することが証明できれば、問題の式はあらゆる自然数について成立する事が言える訳ですので、確認して下さい。
n(n+1)(n+2)/3 +(n+1)(n+2) == (n+1)・(n+2)・(n+3)/3