マクローリン展開と不等式の証明

質問

(1)関数e^(-x)にマクローリンの定理をあてはめた式を書け

(2)上を用いて、mを2以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/(2m)!
が成立する事を示せ。

(3)mを3以上の自然数とするとき、不等式
0 < e^(-1)-(1/2!-1/3!+…-1/(2m-1)!) < 1/500
が成立する事を示せ。

という問題なのですが
(1)はΣ(n=0～∞)(-1)^n/(n!)*x^nと解けて

(2)は数学的帰納法で解こうとしてe^(-1)を(1)で求め
式にx=1を代入してn=5までの値で近似して
(i)m=2の時それぞれの値の差をとって成り立つことを
証明できたのですが
(ii)mの時　不等式は成り立つとして
m+1の時も成り立つので不等式は成り立つと
証明したかったのですが良く分からなくて解けませんでした。

(3)については(2)と同様に解こうとしたのですが
良く分からなくて解けませんでした。
アドバイスよろしくお願いします。

回答No.2

pyon1956 · ベストアンサー

#1さんの答ですべて尽くしていると思いますが、念のため。
マクローリンの定理では
(1)の答は仰るような無限級数ではなく、有限数列の和になります。
従ってe(-x)=Σ(k=0～n-1)(-1)^k/(k!):x^k+e^(-θn)/(-x)^n
ただし0<θ<1、となります。
ただ、これも、無限級数の方もどちらもマクローリン展開と呼ぶ場合があるようで、マクローリン展開して云々、と言う問題だとそういう混乱も生じたでしょうが、マクローリンの定理には無限級数はありませんからね。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/040ksk.html

お礼

マクローリンの定理とマクローリン展開
を混同していました。ありがとうございました。

回答No.1

take008

(1)で要求しているのは，マクローリンの定理をあてはめた式であって，マクローリン展開した式ではないですね。
(1)の解答が要求されたものと違うので，それを利用しても(2)は解けません。