連立方程式

質問

a+b+c=6
a^2+b^2+c^2=18
a^3+b^3+c^3=57
のとき
√a+√b+√c
をもとめよ。

教えてください。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

a+b+c=6 …（１）
a^2+b^2+c^2=18 …(２）
a^3+b^3+c^3=57 …（３）

（１）の2乗から(2)を引いて、ab+bc+ca=9　…（４）
（１）の3乗と（１）×（２）からabc=1　　…（５）

また√a+√b+√c=x ,1/√a+1/√b+1/√c=y とおく(x,yは正の数）
x^2=a+b+c+2(√ab+√bc+√ca)=6+2(√abc/√c+√abc/√a+√abc/√b)=6+2y
y^2=1/a+1/b+1/c+2(1/√ab+1/√bc+1/√ca)
=(ab+bc+ca)/abc+2(√abc/√ab+√abc/√bc+√abc/√ca)
=9/1+2(√a+√b+√c)=9+2x

x^2=6+2y,y^2=9+2x からyを消去して整理すれば
x(x^3-12x-8)=0,x>0より、題意を満たすのはx^3-12x-8=0の正の実数解。
x=4Xとおくと、この3次方程式は64X^3-48X-8=0
∴4X^3-3X-1/2=0 これは60度を3等分する方程式だから(3倍角の公式)
X=cos20°∴x=4cos20°≒3.75877

検算：（１）（４）（５）からa,b,cは3次方程式t^3-6t^2+9t-1=0の解(順序は任意）
この方程式を解くとt≒0.12061,2.3473,3.5321 だから
√a+√b+√c≒√0.12061+√2.3473+√3.5321
≒0.34729+1.53209+1.87939≒3.75877

お礼

ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.3

staratras

No.2です。少し補足です。三角関数の「三倍角の公式」（逆に言えば「角の三等分方程式」）を使って3次方程式を解く方法は、この問題のように「3次方程式が異なる3実数解を持つ場合」（不還元の場合）には役に立ちます。「カルダノの公式」を使えば一応解が得られますが、不還元の場合には実数解であっても解に複素数の立方根を含んだわかりにくい表現になってしまうからです。

昔はこの考え方を利用して、計算尺や三角関数表を使って3次方程式を解く方法もよく数学の実用書に解説されていました。パソコンや方程式を解く機能付きの関数電卓が容易に使える現在でも、この方法を使えば「方程式を解く機能がない関数電卓でも3次方程式の3つの実数解が比較的容易に求められる」利点がありますので、知っておいて損はないと思います。この問題のようにきれいな式になるとは限らず逆三角関数を含んだ表現になるのが一般的ですが…。

試しに、No.2で登場した方程式　t^3-6t^2-9t-1=0　をこの方法で解きます。
2次の項を消すために、T＝t-2とおいてt=T+2を代入して整理すれば
T^3-3T+1=0　ここで余弦の三倍角の公式に合わせるためにT=2T'として代入すると4T'^3-3T'=-1/2 　これは120度を3等分することだから、T'=cos40°、cos160°、cos280°
よってT=2cos40°、2cos160°、2cos280°
t=2＋2cos40°、2+2cos160°、2+2cos280°

なおこの形式から計算を続けても、問題の解答が４cos20°であることが半角公式などから示せます。(以下、degree(度）を省略）

√a+√b+√c=√(2+2cos40)+√(2+2cos160)+√(2+2cos280)
=√4(cos20)^2+√4(cos80)^2+√4(cos140)^2
=2cos20+2cos80+2cos40
=4cos50cos(-30)+2cos40
=2√3cos50+2cos40
=2(√3sin40+cos40)
=2・2sin70
=4cos20

お礼

ありがとうございました。
丁寧な解説のおかげで理解が深まりました。

回答No.1

gamma1854

条件からまず、
ab+bc+ca=9, abc=1
をだします。
さらに、√a=p, √b=q, √c=r, (p, q, rは正数) とおくと、
p^2+q^2+r^2=6, (pq)^2+(qr)^2+(rp)^2=9, (pqr)^2=1 から、
A^2 - 2B=6, B^2 - 2A=9, (p+q+r=A, pq+qr+ra=B とおいた)
からAを求めてください。
-------
A=4*cos(pi/9).

お礼

ありがとうございました。