連立方程式

質問

よろしくご指導願います。

下記の連立方程式は解けるのでしょうか？
未知数は9個です。

6=a1+a2+a3
20=b1+b2+b3
15=c1+c2+c3
34=d1+d2+d3
21=b1+c1+d3
26=a2+c3+d1
18=a3+b1+d2
10=a1+b3+c2
75=a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+d1+d2+d3

よろしくご指導願います。

回答No.2

nobuyuki0505 · ベストアンサー

一意には定まりませんが、解くことは可能です。
任意の実数(?) k, l, m, ・・・を用います。

式に名前を付けます。
6=a1+a2+a3　　・・・(1)
20=b1+b2+b3　　　・・・(2)
15=c1+c2+c3　　　・・・(3)
34=d1+d2+d3　　　・・・(4)
21=b1+c1+d3　　　・・・(5)
26=a2+c3+d1　　　・・・(6)
18=a3+b1+d2　　　・・・(7)
10=a1+b3+c2　　　・・・(8)
75=a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+d1+d2+d3　　　・・・(9)

まず(1),(2),(3),(4)式の両辺を加えれば、(9)式を得ます。
ゆえに(9)式は不要だと分かります。

次に(6),(7),(8)式の両辺を加えれば、
(a1+a2+a3)
+(b1+b3)
+(c2+c3)
+(d1+d2)
=26+18+10

を得ますが、これに(1)～(4)を式変形した
a1+a2+a3=6,
b1+b3=20-b2
c2+c3=15-c1
d1+d2=34-d3
を代入して整理すれば、
21=b2+c1+d3
を得ます。

(5)式
21=b1+c1+d3
と比較して、
b1=b2　　　・・・(10)
を得ます。

逆に(10)式を認めれば、
ほかの式から(5)式を導くことができるので、
(5)式は不要です。

ゆえに、求める解は、
6=a1+a2+a3　　・・・(1)
20=b1+b2+b3　　　・・・(2)
15=c1+c2+c3　　　・・・(3)
34=d1+d2+d3　　　・・・(4)
26=a2+c3+d1　　　・・・(6)
18=a3+b1+d2　　　・・・(7)
10=a1+b3+c2　　　・・・(8)
b1 = b2　　　・・・(10)
を満たせばよいことが分かります。

以下、k, l, m, nは任意の実数とします。
b1=b2=k
と置けば、(2)より、
b3=20-2k
またd2=l と置けば、
(7)式より、
a3=18-b1-d2
=18-k-l
さらにc2=m と置けば、(8)より、
a1=10-b3-c2
=10-(20-2k)-m
=-10+2k-m
を得る。よって(1)より、
a2=6-a1-a3
=6-(18-k-l)-(-10+2k-m)
=-2-k+l+m
を得る。
ここで、d1=n とおけば、(6)より、
c3=26-a2-d1
=26-(-2-k+l+m)-n
=24+k-l-m-n
となる。
ここで、d1=n, d2=lなので、(4)より、
d3=34-d1-d2
=34-n-l
また、c2=m, c3=-24+k-l-m-nなので、(3)より、
c1=15-c2-c3
=15-m-(-24+k-l-m-n)
=39-k+l+n
を得る。

以上をまとめれば、
a1=-10+2k-m
a2=-2-k+l+m
a3=18-k-l
b1=k
b2=k
b3=20-2k
c1=39-k+l+n
c2=m
c3=24+k-l-m-n
d1=n
d2=l
d3=34-n-l

(ここで、k, l, m, nは任意の実数)
がこの連立方程式の解となります。

お礼

こういう方法があるのですね。
手法は単純ではありますが、自分でこの方法が脳裏に沸くか、無理です。
問題はk,l,m,nの解・・・

ありがとうございました。さらに研究してみます。

ありがとうございました。

回答No.1

bran111

解けません。

理由

未知数が12個、方程式が9個

未知数がすべて一義的に定まるためには未知数の数と独立な方程式の数がイコールであることが必要です。

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。
やはりだめですか。
上記の連立方程式は、4差路における交通量でa~dがそれぞれの道路の直進(添字2)、左折(添字1)、右折車(添字3)の数です。
そして既知数は、それぞれの道路から交差点に入る自動車の合計値と出てくる自動車の合計値です。
交差点へ入る自動車の合計と交差点から出てくる自動車の合計値だけで、それぞれの道路からの直進、左折、右折の数が計算で出したかってのですが、無理なのですね。
ありがとうございました。