鋭角三角形

質問

座標平面において格子点を頂点とする
鋭角三角形の面積の最小値を求めよ。

考え方なども教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

三角形ABCの一辺ABを固定して考え、CをABの上方にとります。CをAの垂線上にとれば∠CABが直角の三角形になり、その外側にとれば∠CABが鈍角となって題意を満たしません。またCを同様にBの垂線上やその外側にとっても題意を満たしませんので、Cの取り得る範囲はこの2垂線の内側(境界は含まない）です。

また直径に対する円周角は直角なので、ABを直径の両端とする半円上にCをとれば∠ABCが直角となり、またその内側にとれば、∠ABCが鈍角となり題意を満たしません。したがってこの半円の外部（境界を含まない）でなければなりません。以下ABの長さの小さい方から考えます。

ABの長さが整数値のとき、最小値はAB=1ですが、このとき格子点上にCをとれば鋭角三角形にはなりません。なぜならば鋭角三角形にするには水色の範囲にCをとる必要がありますが、下の図の左端を見れば明らかなように、この範囲内には格子点はないからです。

次に大きいAB=2のとき、鋭角三角形にするにはCは同様に水色の範囲にとる必要があります。この範囲でABを底辺とする三角形の高さが最も小さくなるのはCを下の図の中央の位置にとった場合で、このとき三角形ABCの面積は1/2・2・2=2　です。　

ABの長さが無理数のとき、最小値はAB=√2です、三角形ABCを鋭角三角形にするにはCは同様に水色の範囲にとる必要があります。この範囲でABを底辺とする三角形の高さが最も小さくなるのはCを右の図の位置にとった場合で、このとき三角形ABCの面積は1/2・√2・(3/2)√2=3/2

以上をまとめると、題意を満たす鋭角三角形の面積の最小値は3/2です。

お礼

ありがとうございました。
ものすごくわかりやすかったです。

回答No.2

staratras

No.1の誤記訂正です。

誤：また直径に対する円周角は直角なので、ABを直径の両端とする半円上にCをとれば∠ABCが直角となり、またその内側にとれば、∠ABCが鈍角となり題意を満たしません。

正：また直径に対する円周角は直角なので、ABを直径の両端とする半円上にCをとれば∠ACBが直角となり、またその内側にとれば、∠ACBが鈍角となり題意を満たしません。

お礼

ご丁寧に訂正までありがとうございました。