整数問題

質問

座標平面上の格子点が５こ与えられたとき、５こから２この格子点を選び２点の中点をとると、少なくとも１つの格子点でその中点が格子点となることを示せ

pを２以上の素数とする。このとき任意の正の整数ｎに対し、ｎ^p-ｎはpで割り切れることを示せ

質問ばかりすいません、
お願いします(/_;)

回答No.3

alice_44

みっつめ:
鳩ノ巣原理。格子点の座標の偶奇は、
(偶数or奇数)×(偶数or奇数) の 4 通り。
5 点あれば、同じパターンの点が 1 組はある。

よっつめ:
nのp乗 を (n-1)+1のp乗 と考えて、
二項定理で展開してみる。

回答No.2

f272

(1)
5個の格子点のx座標の偶奇を考えれば少なくとも3個は同じである。
その3個の格子点のy座標の偶奇を考えれば少なくとも2個は同じである。
(2)
フェルマーの小定理から明らか

回答No.1

reiman

後半はフェルマーの小定理
前半は
少なくとも3つの格子点のx座標が奇数の場合と
少なくとも3つの格子点のx座標が偶数の場合と
で場合分けし
それぞれについて
それら格子点の奇数の数が2個以上あるか偶数の数が2個以上あるか
のどちらかであることから