フェルマー点の定義で和を積に変えると

質問

鋭角三角形を考えます。

フェルマー点とは3頂点からの距離の和が最小となる点だが、
3頂点からの距離の積が最大となる点はどういった点でしょうか?

3頂点からの距離の2乗の和が最小となる点は重心だが、
3頂点からの距離の2乗の積が最大となる点はどういった点でしょうか?

座標だとかベクトル表示とか性質とか、知られていることがあれば教えてください。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1に付けられたコメントについてです。

「次元を落とし」た計算では、頂点の座標のy成分がすべて0である縮退した三角形において、x軸上での極大を見つけていらっしゃいますが、問題はy軸方向を見たときにはそれが極小であって、つまり鞍点になっている、ということです。

　そこで、まずは辺abが短くて、他の2辺はうんと長い場合を考えます。辺ab上に点Mを決めて、Mを通り辺abと垂直な直線mにそって、点pをMのごく近傍でだけ動かしたとき、|p-c|はほとんど一定のままですから、pとMとの距離dによってFがほぼ決まる。もしcが無限遠にあるなら、p=MのときにFが極小になるでしょう。一方、cが有限の距離にあれば、dが同じでも（２通りありますね）pが内点である場合の方が、pが外点である場合よりもFが小さい。dがどんなに小さくてもこれは同じ事です。というわけで、辺のごく近傍だけを見ると、pが内点であるなら、辺に近づくほどFが大きくなるのは明らかでしょう。しかも、cが近くにあるほど、cの影響は大きくなり、この効果は強くなる。

　でも三角形のど真ん中あたりにFが極大になる場所があるんじゃないか？ というのがご質問の趣旨ですね。
　辺abが短い二等辺三角形において、点cがうんと遠くにあれば、三角形はほとんど針のような格好になる。鞍点ができる状況です。これと正三角形とを比べてみれば、三角形の中に本物の極大点が生じ易いのは正三角形の方に違いない。そして「辺の近傍」から最も遠い内点は正三角形の中心である。というわけで、正三角形の中心を調べてみてはどうか、とお勧めしたんです。
　ところで、正三角形ではなくて正百万角形を考えれば、これは真ん中に極大ができるでしょう。辺が短いために、中心から（任意の）外点に至る直線が辺をまたぐあたりで、ひとつかふたつの点にごく接近することになり、Fが小さくなるだろうからです。だったら、頂点がいくつあれば極大が現れるんでしょうね。

　なお、シュタイナー楕円の件は、複素数のかけ算を使うからこそ出てくる話でしょう。スカラのかけ算とはだいぶ違う状況です。

お礼

まことにありがとうございます。
もっこり後、電気を消したトイレで30分うんことしっこ、黙考でうーんと思考をしながら、排泄と同時に頭に光がともり、distance geometry(距離幾何学)の考えが浮かびました。

平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｘ，ＰＢ＝ｙ，ＰＣ＝ｚとするとき
　　ａ^2ｘ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ａ^2－ｘ^2）
　＋ｂ^2ｙ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｚ^2＋ｘ^2－ｂ^2－ｙ^2）
　＋ｃ^2ｚ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｘ^2＋ｙ^2－ｃ^2－ｚ^2）
　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｙ^2ｚ^2＋ｘ^2ｂ^2ｚ^2＋ｘ^2ｙ^2ｃ^2
が成立します。
このときの、ｘ^２ｙ^２ｚ^２の極大点を求めたいことになります。
Ｘ＝ｘ^２≧０、Ｙ＝ｙ^２≧０、Ｚ＝ｚ^２≧０とすると、２次曲面（ただし、すべての座標は０以上）上の関数ＸＹＺの極大点となります。
ａ＝√３、ｂ＝√３、ｃ＝√３のときは、
Ｘ(Ｙ+Ｚ-Ｘ+３)+Ｙ(Ｚ+Ｘ-Ｙ+３)+Ｚ(Ｘ+Ｙ-Ｚ+３)=９+ＹＺ+ＸＺ+ＸＹ　(楕円放物面)
（Ｘ≧０、Ｙ≧０、Ｚ≧０）での、ＸＹＺの極大点となります。

楕円放物線という曲面や、ＸＹＺ＝定数　の曲面の性質や対称性を考え、Ｘ＝１、Ｙ＝１、Ｚ＝１のときが極大のようにも思えますが。
ラグランジュの未定乗数法でＸ、Ｙ、Ｚ、λを求め、ヘッシアンの正負を調べればよいが、計算でふんづまり中。

補足

座標平面上の点a, b, cが決まっているとき、点p(x,y)について
F=|p-a||p-b||p-c|
のグラフ(xyz空間の曲面)を考えると、おおまかにみればＵの字型の曲面で、3点の近くで見れば、p=a,b,cでF=0となるだけです。

新しく、
3つの点電荷の内部にもうひとつの点電荷を置く
という題名の質問をさせていただきましたが、そこでのグラフ
http://topicmaps.u-gakugei.ac.jp/phys/matsuura/lecture/general/materials/q_eline.htm
を上下逆にした感じになるでしょうか。

一般に、曲面の極大点の個数と極小点の個数と鞍点の個数の関連も気になってきました。
モース理論を勉強すれば分かるかなあ？

回答No.3

stomachman

MacのオマケソフトであるGrapherを使ってfをプロットしてみました。z軸の方向から見下ろした図で、多少、遠近法が効いています。黄色で縁取られている穴が頂点、赤い線は等高線です。
　正三角形（図左）の場合、三角形の内点でfが最大になるのは三角形の辺上、という意味がお分かり戴けるでしょうか。真ん中は極大ではなく、三ツ股の鞍点です。
　正方形（図右）では、やはり最大が辺上にあるのは同じですけれども、どうやら真ん中に（極めて微妙ですが）極大が出現しているようです。

回答No.1

stomachman

平面上の点a, b, cが決まっているとき、点pについて
　　F=|p-a||p-b||p-b|
を最大にするようなpを求めていらっしゃる。そこでたとえば、a,b,cの3点をノートに描いたとして、p点を火星あたりに置いてみると、Fは大きな値になるでしょう。言うまでもなく、pがa,b,cから遠く離れれば離れるほどFはいくらでも大きくなって、最大というものはない。
　ならば点a,b,c以外でのFの極値はというと、たとえばa,b,cが正三角形の頂点である場合の中心にpを置いてみれば、あらゆる方向の傾斜が0になるような特異点は出来ることがあっても、そこは極大や極小にはならないようだ、と分かるでしょう。つまり、三角形の内点に話を限ったとしても、最大は辺上にある。
　なお、距離の2乗の積は、距離の積の2乗F^2と同じであって、Fは負にならないのだから単調な写像をしたというだけ。従って、最小・最大・極値の場所に関してはFと全く同じ。

お礼

まことにありがとうございます。

三角形の内部を考えるという記述を書き忘れたことはお詫びいたします。

しかし、三角形の内部では極大(最大)はなく、辺上で最大というのが良く分かりません。

次元と個数を落として、x軸上の点a, bが決まっているとき、点xについて
　　F^2=(|x-a||x-b|)^2
のグラフを考えると、微分して、
　　2{x^2-(a+b)x+ab}{2x-(a+b)}
よって、最小はx=a,bのとき、極大はx=(a+b)/2のとき。

次元だけを落として、x軸上の点a, b, c(a<b<c)が決まっているとき、点xについて
　　F^2=(|x-a||x-b||x-c|)^2
のグラフを考えると、微分して、
　　2{x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc}{3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)}
よって、最小はx=a,b,cのとき、極大はx=[(a+b+c)±√{(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}]/3のとき。
2個の極大点は、aとbの間、bとcの間にある。

このように考えると、元の質問の極大点も三角形の内部にあるとは思います。

補足

複素平面の三角形αβγと内部の点zで考えると、
(|z-α||z-β||z-γ|)^2
をzで微分したものが0になる点を考えればよさそうですが、共役複素数が出てくるので微分できません。
x,yの2変数関数とみなすと偏微分できますが、式が汚くなって何も見えてきません。
長さの積に意味はないかも知れませんが、次のような思いがけない性質もあります。
半径1の円に内接する正n角形において、一つの頂点から残りの（n－1）個の頂点へ引いた線分の長さの総積は、ちょうどnになる。

もし、上の式の絶対値がふつうのかっこだったら、
(z-α)(z-β)(z-γ)
をzで微分したものが0になる点は、
シュタイナー楕円の焦点になるようです。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1741_c8.htm