有界作用素 有界自己共役

質問

Aが有界作用素で(Af,g)=0∀f,g∈HならA=0であることとA が有界自己共役で (Af,f)=0 ∀f ∈H なら A=0 であることをどう示せばいいでしょうか。

(A(f + g), f + g) を考えて解いてみたのですが、
答えにたどり着きません(._.`)

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

◯ Aが有界作用素で(Af,g)=0∀f,g∈HならA=0であること
ほとんど https://okwave.jp/qa/q9823126.html と同じ
A≠0なら Ah≠0なる h∈Hがある。この時 (Ah, Ah)≠ 0であるから、A≠0なら、(Af, g)≠0なる f, g∈Hがある。

◯ A が有界自己共役で (Af,f)=0 ∀f ∈H なら A=0 であること
(Af,f)=0 ∀f ∈H の時
0 = (A(f+g), f+g) = (Af,f) + (Af, g) + (Ag, f) + (Ag, g) = (Af,g) + (Ag, f) = (Af, g) + conj ((f, Ag)) = (Af, g) + conj( Af, g) ) = 2Re( (Af, g) )
(conj(z) はzの複素共役、Re(z)はzの実部）

従って 0 = (A(f+ig), f+ig) = 2Re (Af, ig) = 2Re ( -i (Af, g) ) = 2Im (Af, g)
（i は虚数単位）
従って、∀f,g∈Hに対し、Re(Af, g) = 0かつIm(Af, g) = 0であるから(Af, g) = 0となって、これより先は上から従う。

お礼

いつも分かりやすい回答ありがとうございます！

回答No.1

Nobu-W

難しっ　＞＜
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.1.pdf
参考になればいいのですが・・・