compact作用素

質問

コンパクト作用素の練習問題がいくつかあって、しばらく考えているのですがうまく証明できません。回答の指針でも構わないので教えていただきたいのでお願いいたします。

V=C([a,b])としてT:V→Vをf∈Vに対して
Tf(x)=∫_{a→x}f(x)dxで定義すればTはコンパクト作用素。

もう1問ですが、

m>nを非負整数として、V=C^m([0,1])、W=C^n([0,1])とおくおとき、
F:V→Wをf→fで定義するとFはコンパクト作用素。
ただしC^n([0,1])のノルムは
||f||=sup(Σ_{0≦j≦ｎ}|f^(j)(x)|)とします。

コンパクト作用素の定義では、任意の有界列の像が収束する部分列を持てばよいのですが、うまく示せませんでした。もうひとつ退化作用素(値域が有限次元空間になる作用素で従ってコンパクト作用素)で近似できればよいという定理も教えていただいたのですが、その方法でもうまくできませんでした。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

私の解答の誤りはご指摘の通りです。解答を次の様に訂正させていただきます。
{fn}をC([a,b])の有界列とする。すなわちあるMがあって
　　　sup|fn(x)|≦M
このとき、 s2≧s1として
　　|Tfn(s2) - Tfn(s1)|=|∫{s1～s2}fn(x)dx|
　　　≦∫{s1～s2}|fn(x)|dx
　　　≦(s2-s1)M
これは{Tfn}が同等に連続(Mがnに無関係)であることをしめす。{Tfn}が同等に有界であることも明らかだから、アスコリ・アルツェラの定理より収束する部分列を含む。よってTはコンパクトである。
解答の誤りを指摘して下さってありがとうございました。

お礼

ぽん。ああ、そうか、アスコリ・アルツェラが使えるのですね。目から鱗が落ちそうです。どうもありがとうございます。

回答No.1

grothendieck

ご質問の前半部分のみ示します。
{fn}をC([a,b])の有界列とする。すなわちあるMがあって
　　　sup|f(x)|≦M
このとき、
　　∥Tfn∥=sup|∫fn(x)dx|≦sup∫|fn(x)|dx
　　　　　≦(b-a)M
よって{Tfn}は有界な列だから、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より収束する部分列を含む。よってTはコンパクトである。

お礼

初めまして。よいHNですね(笑)回答くださいましてありがとうございます。ただ{Tfn}はC([a,b])の有界列にはなりますが、これは無限次元なのでボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理は使えないと思うのですが…