ユニタリ作用素

質問

下のL^2(R)→L^2(R)の線形作用素がユニタリ作用素であることを示して欲しいです。

T_af(t)=f(t-a),a∈R
E_af(t)=exp(2πiat)f(t),a∈R
D_af(t)=|a|^(-1/2)f(t/a),a≠0,a∈R

よろしくお願いいたします。

回答No.8

tmppassenger · ベストアンサー

T_a については、

1. 先ず f,g ∈ L^2(R)に対し、
< T_a(f), T_a(g)> = ∫ f(t-a) * {g(t-a)}^* dx
= ∫ f(t) * {g(t)}^* dx （置換積分より明らか） = <f, g>
となって、結局< T_a(f), T_a(g)> = <f, g> （これが内積を保存する、という意味）

（念の為に書いておくと、この時 ||T_a(f)||^2 = ||f||^2 となるので、T_a は有界となる）

2. 更に T_a◯T_{-a} = T_{-a}◯T_a = id, 従って T_aは全射で、T_{-a} = {T_{a}}^-1。

（この時、<f, T_{-a}(g)> = <T_a(f), T_a◯T_{-a}(g)> （内積を保存することは既に確認した） = <T_a(f), (g)> となるから、 T_{-a} = {T_a}^*、つまり T_{-a}がT_aの随伴作用素となる）

従って、T_aはユニタリ作用素である。

補足

とても分かりやすい解答ありがとうございます。
最初の内積を保存するという点について、お聞きしたいのですが、置換積分より明らかというのはt-a=tのような感じで置換したらという意味だと思ったのですが、
内積を保存するという意味では、最初の内積の中の変数と、最後に出てきた内積の変数が異なっていても内積を保存するという意味で使うのでしょうか？

また、（c）で内積の保存を示すためにも、同様にt/a=tのような感じで置換積分すると考えたのですが、絶対値が付いているため、上手く示せないのですが、考え方が間違っているのでしょうか？

教えていただいたおかげで、(b)の問題や、（c）の逆作用素を求めることが出来ました。
ありがとうございました。

何度もご質問して申し訳ありませんでした。

回答No.12

tmppassenger

色々言ってきましたが、あと一歩ですね

補足

ありがとうございます。
積分区間が逆になるので、それを元に戻すためにマイナスをかければ内積が保存されることを示せるんですね。

何度もご質問して申し訳ありませんでした。
ご丁寧に解説して下さったおかけで理解出来ました。ありがとうございました。

回答No.11

tmppassenger

a<0 の時、t/a=u と置換積分を適用しようとした時、uの積分区間はどうなりますか？（a<0です）

回答No.10

tmppassenger

> 絶対値が付いているため
これが問題なら、aが正の場合と負の場合で場合分けをすればいいでしょう。

補足

<D_af,D_ag>
=∫|a|^(-1/2)f(t/a){|a|^(-1/2)g(t/a)}*dt
=∫|a|^(-1) f(t/a) g(t/a)*dt…②
a>0の時
=∫a^(-1) f(t/a) g(t/a)*dt…①
t/a=uとおくと
dt=adu
①= ∫ f(u) g(u)*du=<f,g>

a<0の時
② =∫(-a)^(-1) f(t/a) g(t/a)*dt
t/a=uとおくと
dt=adu
①= ∫ -f(u) g(u)*du=-<f,g>
となってしまいa<0の時、内積が保存されないのですが、間違っている箇所がありますでしょうか？

回答No.9

tmppassenger

あ、そもそも

< T_a(f), T_a(g)> = ∫ f(t-a) * {g(t-a)}^* dt ですね。で、
∫ f(t-a) * {g(t-a)}^* dt = ∫ f(u) * {g(u)}^* du (u=t-a -> du = dt, 積分範囲は実数全体なので変化なし） = <f,g>

> 最初の内積の中の変数と、最後に出てきた内積の変数が異なっていても

「変数」は何の記号を使おうが勝手でしょう。 T_a と書いている時のaはとある定数として扱っているので変えては駄目ですが、積分変数はtを使おうがuを使おうが、関係ありませんね。

> （c）で内積の保存を示すためにも、同様にt/a=tのような感じで
そもそも t/a=t という書き方が良くない。書くならt/a=uとか。で、
> 上手く示せないのですが
書いてもらえないと、どう上手く示せないのか分からないので、補足に下さい。

補足

ありがとうございます。
理解することが出来ました。

回答No.7

tmppassenger

違います。なんというか、そもそも問題の定義が理解出来てないのに、解答はこうです、と答える意味があると思えない。

補足

問題の定義が理解できていなかったことについては演習不足だったと思います。
参考書だけを読んで理解できた気になっていました。
今回、一問だけでもいいので、解答を教えていただくことによって、再度理解を深めていきたいと思うので、教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.6

tmppassenger

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%8B%E3%82%BF%E3%83%AA%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0
の「内積を保つ」に書いてある内容です。

補足

Wikipediaありがとうございます。
<T_a^(-1)f(t), T_a^(-1) g(t)>= <f(t),g(t)>
ということでしょうか？

回答No.5

tmppassenger

どう計算すればいいか、ではなく、「内積を保存する」とは「何を示せばいいか」については、定義を確認するだけなので、少なくともそこは補足に下さい。

補足

L^2の作用素なので、
<f,g>=∫∞→-∞f(t)g(t)^*dt
だと思うのですが、

内積を保存ということは、先程の（1）では
<T_a,T_a>=<T_a^(-1),T_a^(-1)>
ということでしょうか？

回答No.4

tmppassenger

> どのような計算で確かめたらいいか

その部分に関しては、内積が保存する、とはどういう事かは定義から分かるはずなので、それは自分で確認してください。

回答No.3

tmppassenger

はい、一つ目はそうなります。

補足

T_a^(-1)f(t)=f(t+a),a∈Rとすることによって
T_aT_a^(-1)f(t)=f(t)
となることはわかったのですが、
内積を保存するということはどのような計算で確かめたらいいかご教授いただきたいです。

回答No.2

tmppassenger

取り敢えずパラメータaについて、符号を反転させたり、逆数を取ったりとか試してみてはどうでしょう

補足

ありがとうございます。
例えば1つ目であれば、
T_a^(-1)f(t)=f(t+a),a∈R
などでしょうか？