部分環 無限群

質問

A = {a + b√5 | a, b ∈ Z} ⊆ R とし、
AがRの部分環であること、A の単元全体のなす群 A^×は無限群であることとはどういうことでしょうか。どう示したらいいですか。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

A={a+b√5|a,b∈Z}⊂R

a+b√5∈A
x+y√5∈A
の時
(a+b√5)+(x+y√5)=(a+x)+(b+y)√5∈A
(a+b√5)(x+y√5)=(ax+5by)+(ay+bx)√5∈A
だから
AはRの部分環である

(2+√5)(-2+√5)=1
だから

(2+√5)はAの単元である

全ての整数nに対して

{(2+√5)^n}{(-2+√5)^n}=1
だから

{(2+√5)^n}もAの単元である

2+√5>1
だから
(2+√5)^(n+1)>(2+√5)^n
だから
nの値が異なれば
(2+√5)^nの値はすべて異なるから
Aの単元は無限にあるから
Aの単元全体のなす群は無限群である

お礼

ご丁寧にありがとうございます！質問なのですが、I = (A の単元全体のなす群 A× は無限群である) ⊆ A を 2 が生成する A のイデアルとし、剰余環 A/I の加法と乗法の演算表を書き，A/I が体かどうかというのはどうしたらいいでしょうか。