部分環と全射準同型

質問

Ｍ_n(Ｒ)をｎ次行列全体、Ｂ_n(Ｒ)をｎ次の上三角行列全体、Ｔ_n(Ｒ)をｎ次の対角行列全体とする。このとき、

（１）Ｔ_n(Ｒ)はＭ_n(Ｒ)の部分環であることを示せ。
（２）Ｂ_nの行列に対してその対角成分を対応させる写像　　　はＢ_nからＴ_nへの全射準同型であることを示せ。

なのですが、わかりません。ひとつでもいいので教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.1

ume-kichi · ベストアンサー

【定義】Ｒを環とする。Ｒの部分集合Ｓが次を満たすとき、ＳはＲの部分環である　　　　という。
（ⅰ）ａ、ｂ∈Ｓ　⇒　ａ＋ｂ∈Ｓ
（ⅱ）ａ∈Ｓ　　　⇒　－ａ∈Ｓ
（ⅲ）ａ、ｂ∈Ｓ　⇒　ａｂ∈Ｓ
（ⅳ）１∈Ｓ　　（ただし、１はＲの単位元）
であるから、これらが満たされていることを確認しましょう。

１）Ｍ_ｎ(Ｒ)⊃Ｔ_ｎ(Ｒ)である。
　　∀Ａ、Ｂ∈Ｔ_ｎ(Ｒ)に対して、
　　(ⅰ)Ａ＋Ｂ∈Ｔ_ｎ(Ｒ)
　　(ⅱ)－Ａ∈Ｔ_ｎ(Ｒ)
　　(ⅲ)ＡＢ∈Ｔ_ｎ(Ｒ)　←これは確認してくださいね。
　　(ⅳ)Ｅ∈Ｔ_ｎ(Ｒ)　　（ただしＥは単位行列）
　　よってＴ_ｎ(Ｒ)はＭ_ｎ(Ｒ)の部分環です。

【定義】写像ψ：Ｘ→Ｙが準同型であるとは次の条件を満たすことである。
(ⅰ)　ψ（ａ＋ｂ）＝ψ（ａ）＋ψ（ｂ）
(ⅱ)　ψ（ａｂ）＝ψ（ａ）ψ（ｂ）
(ⅲ)　ψ（１ｘ）＝１ｙ
であるから、これらを満たしていることを確認しましょう。

２）ψ：Ｘ→Ｙ（Ｘの対角成分）とする。∀Ａ、Ｂ∈Ｂ_n(Ｒ)に対して、
　　(ⅰ)ψ（Ａ＋Ｂ）＝ψ（Ａ）＋ψ（Ｂ）　←これは成分同士の和の対角成分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　だから成り立つ。レポートに書
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　く場合はｎ次行列を書いてみま
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　しょう。
　　(ⅱ)ψ（ＡＢ）＝ψ（Ａ）ψ（Ｂ）　　　←これも確認してくださいね。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　計算するだけですから…。
　　(ⅲ)ψ（Ｅｘ）＝Ｅ　　　　　　　　　　←Ｅｘは（i,i)成分が１の上三角
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　行列で、Ｅは単位行列です。
　　更に全射を確認しましょう。Img(ψ)＝Ｙ（対角行列）
　　よって全射。以上より全射準同型である。

２）はなかなかこの欄には書きにくいので、確認事項のみにさしていただきました。確認してみてくださいね。

お礼

ありがとうございましたm(__)m