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環の問題です。
環 R = Z/72Z について次の問いに答える。 (１)a^2=a となるうようなRの元のaの個数を求める。 (２)ベキ零元の個数を求める。 よろしくお願いします。
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- ask-it-aurora
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訂正 (誤) (p^(e - 1))Z/(p^e)Z が nilradical です． (正) pZ/(p^e)Z が nilradical です．
- ask-it-aurora
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ちょっとボケてたので追記． せっかくもとの環を Z/(p^e)Z の形に分けたのだから，もう少しラクができますね．Nilradical は素イデアルの共通部分であったことを思い出すと，この場合は (p^(e - 1))Z/(p^e)Z が nilradical です．したがって少なくとも冪零元の数に関しては地道にやらなくても p^(e - 1) 個とわかりますね．
- ask-it-aurora
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何も考えないという意味で一番ラクなのは，補足に書かれたようにすべて計算してみることです． ちょっとだけ環論を使うと，中国剰余定理からまず Z/72Z は Z/8Z ⊕ Z/9Z と同型です．演算の定義から，それぞれの冪等元や冪零元の数を数えて掛けあわせれば，答えがわかります．ここから先は地道に計算してみましたが， Z/8Z の冪等元は 0, 1 で冪零元は 0, 2, 4, 6. また Z/9Z の冪等元は 0, 1 で冪零元は 0, 3, 6 だったので，答えはそれぞれ (1) 2×2 = 4 (2) 4×3 = 12 となります． ## 分解した後に数を数えるのはもっと要領良くできるかもしれません．この場合は数が小さいので，いずれにせよ労力にほとんど差はないでしょうが．「Nilradical」とか調べると，役に立つ何かが見つかるかも．
- Tacosan
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で, 質問はなんでしょうか? まさか, 「自分で考えるなどという馬鹿なことはしないポリシーなので答えを教えてほしい」とかいうことはないよね?
補足
返信ありがとうございます。 (１)について a^2=a となる a を求める問題ですが、 私は地道に a^2 = a ＋ 72 n ( n ∈ Z ) となる a を探す方法を考えました。 (２)について [a] がZ / 72 Z となるとき、 a^n ≡ 0 ( mod 72 ) となる n が存在して… と考えました。 ただ、この問題は個数を聞いている問題なので、 なにか他の方法があるのではないかと思い、質問させていただきました。 説明不足で住みません。 Tacosan だったらどのように考えるか教えていただけますか?
お礼
確認してみました! 訂正までありがとうございます!