合同式の定義 剰余？ それとも 最小非負剰余？

質問

合同式の定義について、参考書ではあいまいにごまかしてあったので質問させてください

合同式の定義は

整a≡整b　(mod 整c）　⇔　整a=整c×整d＋整e ∧ 整b＝整c×整f＋整e
なのでしょうか？
（つまり整eは剰余）

それとも

整a≡整b　(mod 整c）　⇔　整a=整c×整d＋整e ∧ 整b＝整c×整f＋整e ∧ 0≦整e＜整c
なのでしょうか
（つまり整eは最小非負剰余）

参考書ではどちらにもとれる書き方をしてありました

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

法は負数でも構いませんが、c＜0 であれば、
0≦e＜c となる e は存在しませんから、
どちらの定義を採るべきかは明らかでしょう。

お礼

負数でも良いのですね　wikiなど法が自然数の範囲のみで解説している場合が多く
迷っていました　ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

どちらにもとれるも何も…
整数 a,b,c (c>0) について、
∃d,e,f∈整数,(a=cd+e ∧ b=cf+e) と
∃d,e,f∈整数,(a=cd+e ∧ b=cf+e ∧ 0≦e＜c) は
同値ですよ。
∃f∈整数,a-b=cf とも、同値。

お礼

回答ありがとうございます

同値でしたか…
もういちどよく考えて見ます

補足

いろいろ考えてみて同値であることは納得したのですが、あらたな疑問が生じました
alice_44さんはCにC>0という条件をつけていますよね
つまり法は自然数の範囲のみです

これはなぜなのでしょうか？
合同式を考えるときに法を整数の範囲で考えてはいけないのですか？

回答No.1

ta20000005

普通は

整a≡整b　(mod 整c）　⇔整a-整b=整c×整fとなる整数 整f がある

なのでは。