既約多項式

質問

f(X)=X^6+X^3+1 ∈Q[X]とおき、f(X+1)の計算が分かりません。また、f(X)はQ[X]の既約多項式であることの示し方を教えて頂きたいです。

回答No.1

f272

(X+1)^6=X^6+6X^5+15X^4+20X^3+15X^2+6X+1
(X+1)^3=X^3+3X^2+3X+1
ですから
f(X+1)=X^6+6X^5+15X^4+21X^3+18X^2+9X+3
です。そしてこの多項式の係数はX^6の係数を除いて3で割り切れ，定数項は9で割り切れないため，アイゼンシュタインの既約判定法から既約多項式であることが分かる。

お礼

ご丁寧にありがとうございます！