アイゼンシュタイン判定法

質問

f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4
がQ[x]の既約多項式であることを示したいのですが
g(x)=f(x+1)と置くことで導けるらしいのですが、
具体的に使い方がわかりません。どのように使えばいいのでしょうか。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

f(x+1)が既約であり、f(x)が既約でないとします。
すると、たとえば、f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)のように分解されま
す。（たとえばの分解で他のパターンも当然あります。）
すると、f(x+1)=(x+1+a)(x+1+b)(x+1+c)(x+1+d)となり、f(x+1)が既約
でなくなってしまいます。
逆にf(x)が既約ならばf(x+1)も既約となります。
この場合もf(x+1)が既約でないとxの多項式の積に分解されて、x-1に
置きなおすと、f(x)もxの多項式の積に分解されて、f(x)が既約である
ことに反します。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
すごく理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

zk43

g(x)とf(x+1)が既約であることは同値だから、g(x)が既約であることを
示せば良く、g(x)をxのべき乗に整理して、ある素数pで、4次の係数を
割らず、3,2,1次の係数と定数項を割り、p^2が定数項を割らない、とい
うのを見つければg(x)は既約、すなわち、f(x)も既約になる。

補足

はい、g(x)はが既約であることは、式展開して素数p=5が存在したので既約であることはいえたのですが、g(x)が既約=f(x+1)が既約であることは同値だとわかるんですが、f(x+1)が既約ならばf(x)が既約とはどうしていえるのですか？