直線と距離の問題

質問

直線l: mx+y+m－3=0と点A（0、－1）の距離の最大値を求める問題の解き方を教えてください。

回答No.3

staratras

No.2です。誤記を訂正します。失礼しました。

誤：BCの長さ(Bと直線エルとの距離）が最大となるのは、…CがAと一致するときです。

正：ACの長さ(Aと直線エルとの距離）が最大となるのは、…CがBと一致するときです。

回答No.2

staratras

幾何的に考えれば容易です。
直線l: mx+y+m－3=0　は y-3=-m(x+1)なので
定点B(-1,3)を通り、傾きが-mの直線を表します。

ここで別の定点A(0,-1)からの距離dはAからこの直線エル（ｌが1と紛らわしいのでカナ書き）に下ろした垂線の足の長さです。
この垂線と直線エルとの交点をCとすると、角ACBは常に直角だから、Cは2定点A,Bを直径の両端とする円周上にあります。

BCの長さ(Bと直線エルとの距離）が最大となるのは、円周上の2点間の距離の最大値はこの円の直径だから、CがAと一致するときです。

最大値はAC=AB=√(1^2+4^2)=√17　です。
このときABの傾きは-4だから、これに垂直な直線エルの傾き-m=1/4で、m=-1/4です。

回答No.1

gamma1854

問題の距離ｄをｍの関数として表し、増減を調べてください。
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d=|m - 4|/√(m^2+1).