点と直線3

質問

たびたびすみません。自分でやっても分からないところがたくさんあり困ってます
（特に途中式が）あと何回か質問すると思いますがよろしくお願いします。

１,次の平行な2直線の距離を求めよ。
(1) y=2x,y=2x+3 (2)x/3+y/4=1,x/3+y/4=2

２,3直線x+y=3,x+my=0,mx+y=2が次の条件をみたすように、定数mの条件を求めよ
(1)異なる2点で交わる

３,次の3点を頂点とする三角形の面積を求めよ。
(1) A(0,6),B(-4,-5),C(4,-3)

回答No.2

taropoo · ベストアンサー

学ぶとは真似ぶ事也といいまして、答えをそのまま真似る事も勉強になっているはずです。
頑張ってください。

１．
点と直線の距離の公式
　　　　| ax0 + by0 + c | / √(a^2 + b^2)
を使います。
(1) ２つの直線の式を書きなおすと
　　　　2x - y = 0　　　　…(a)
　　　　2x - y + 3 = 0　　　　…(b)
となります。点(1, 2)は直線(a)上の点ですからこの点と直線(b)との距離が２直線の距離となります。
　　　　| 2*1 - 2 + 3 | / √{2^2 + (-1)^2} = 3 / √5　　　　←（答え）
(2) (1)と同じように２つの直線の式を書きなおすと
　　　　4x + 3y - 12 = 0　　　　…(a)
　　　　4x + 3y - 24 = 0　　　　…(b)
となります。点(3, 0)は直線(a)上の点なのでこの点と直線(b)との距離が２直線の距離となります。
　　　　| 4*3 + 3*0 - 24 | / √(4^2 + 3^2) = 12/5　　　　←（答え)

２．
３直線
　　　　x + y = 3　　　　…(a)
　　　　x + my = 0　　　　…(b)
　　　　mx + y = 2　　　　…(c)
が２点で交わるためには、その内の２直線が平行で、残りの１直線がそれと平行でなければよい。
仮に直線(a)と直線(b)が平行であるとすると、明らかに
　　　　m = 1
この時、直線(c)は
　　　　x + y = 2
となり、３直線とも平行になってしまうから不可。
よって直線(a)と直線(b)は平行ではない。
全く同様にして直線(a)と直線(c)も平行ではない。
ゆえに直線(b)と直線(c)が平行でなければならない。
m=0とすると明らかに直線(b)と直線(c)は平行でないのでm≠0。この時、
　　　　y = -x/m　　　　…(b)'
　　　　y = -m + 2　　　　…(c)'
が平行であるためには傾きが等しくなければならないので
　　　　-1/m = -m, m^2 = 1, m = ±1
上記よりm≠1であるから求めるmの値は
　　　　m = -1　　　　←（答え）

３．
２点(a, b), (c, d)を通る直線の方程式は
　　　　(d - b)(x - a) = (c - a)(y - b)
だから、２点 B(-4, -5), C(4, -3)を通る直線の式は
　　　　(-3 + 5)(x + 4) = (4 + 4)(y + 5)
これを整理して
　　　　x - 4y - 16 = 0　　　　…(a)
直線BCとy軸との交点をDとすると(a)にx = 0を代入して
　　　　-4y -16 = 0, y = -4
よって点Dの座標は、D(-4, 0)
△ABCの面積は△ADBの面積と△ADCの面積の和として表される。
△ADBは線分ADを底辺に取れば高さは点Bとy軸との距離なので
　　　　△ADB = {6 - (-4)}*4/2 = 20
同様に
　　　　△ADC = {6 - (-4)}*4/2 = 20
よって求める△ABCの面積は
　　　　△ABC = △ADB + △ADC = 20 + 20 = 40　　　　←（答え）

お礼

いつも丁寧に教えてくだっさってありがとうございます。
おかげさまで（点と直線）の解けなかったところが分かりました。
全部問題をやってみたのですが、まだ分からないとこがたくさんあって
質問すると思いますがよろしくお願いします。

回答No.3

graffities

いろいろな方が解答を書いてくださっているので、（３）の別解を書いておきたいと思います。
まず、原点（０，０）　A（a,b）　B（c,d）において
三角形の面積をSとすると、S＝|a*d－b*c|/２
で表されます。
　しかし、上記の３点に原点が入っていない場合はどれか１つの点を原点に平行移動して求めます。
つまりAをA’（０，０）とし、B'（－４，－１１），C’（４，－９）とします。平行移動しても面積は変わらないからです。
　するとS＝|－４＊（－９）－（－１１）＊４|/２＝４０となります。

回答No.1

ume_pyon

数学の勉強でお悩みのようですので、アドバイスを。

数学の参考書や問題集などはお持ちでしょうか？受験対策用とまではいかなくとも、
標準問題集などには必ず類似した問題はあるはずです。そこで、私はまず、
解答や解説が丁寧に書かれている問題集や参考書を購入することを推奨します。
目安として、問題ページよりも解答ページが多いものなどが使いやすいでしょう。
多少お金はかかるでしょうが、その辺は目を瞑って、まずは独学を定着させる
べきです。勉強は、わからなければ他人に聞けばよいというほど甘くはありませんし。
ただ、御自身でやれるところまでやって、それでもわからなければ、我々に
質問をおよせ下さい。そのときには喜んで相談に乗らせて頂きます。

とまあ、堅苦しいことはおいといて、本題へ。
１．
「平行な二直線の距離」←→「点と直線の距離」
つまり、片方の直線上に定点をとって、その点ともう一個の直線の距離を
求めるという発想でよいかと思います。あとは「点と直線の距離」の公式でOK！
例えば、(1)では、y=2x上に(0,0)をとって、これとy=2x+3の距離と考えましょう。

２．
これは難しいですね。試しに、適当に3つの直線を書いてみて下さい。そうすると、
交点が0個～3個の場合ができますよね。ここが発想のポイントです！
0個…全てが平行のとき
1個…3直線が1点で交わるとき
2個…2直線が平行のとき
3個…それ以外のとき

で、「異なる2点で交わる」←→「2直線が平行のとき」
ということですよね。あとは、平行＝傾きが等しいということを使って、
それぞれをy=ax+bに直して考えてみましょう。

(1)y=-x+3,(2)y=-(1/m)x,(3)y=-mx+2
(2)＝(3)を考えると、
1/m=m → m^2=1 → m=1,-1
で、m=-1のときに(2)と(3)が平行になって、2つの交点が生まれます。
が、m=1だと、3直線が平行になってしまい、交点ができません。
両方のグラフを書いてみれば一目瞭然ですよ。

３．
これについては一般公式がありますが、私は以下の解き方をオススメします。

まずはグラフを書く！（関数の問題の鉄則です）
次に、線分BCのy切片をDとすると、Dは(0,-4)ですよね。
ここで、△ABC=△ABD+△ACDというように考えましょう。さらに、
底辺をADとすると、△ABDおよび△ACDは高さが4、底辺が10の三角形に
なりますよね。あとは小学生に戻って計算するだけです。

このように、三角形の面積を求めるときは、ある1つの頂点を通り、x軸またはy軸に
平行な直線で、その三角形を分けて考えます。あとは、それぞれの三角形の
合計を考えればよいのです。

がんばってください！！

お礼

アドバイスどうもありがとうございました。
ひととおり自分でやってみたんですが自分には
難しくて解けないのがたくさんありました。
また質問すると思いますがよろしくお願いします。