点と直線の距離の最大値

質問

直線l: mx+y+m−3=0と点A（0、−1）の距離の最大値を求める場合、Aから直線lに下ろした垂線の足をHとして、HとPが一致する時(AP⊥lとなる時)に最大値になるのはなぜですか？

回答No.4

CygnusX1

gamma1854 さんの答えで正解はでていますが、別の解き方

直線と点の距離は、点から直線に引いた垂線の長さ、になります。直線 l と垂線の交点を H とします。
また、質問には書いてありませんが、点 P は (-1, 3) のことだと思います。そして、直線 l は m を変えると点 P を基準に回転していきます。

点 A, P, H をつなぐと直角三角形になります。この三角形で AH が最大になるのは AH = AP のとき
重なってますから三角形ではないですけどね

AH = AP = √((-1 - 0)^2 + (3 - (-1))^2) = √(1 + 16) = √17

おまけ
点 H の軌跡は AP を直径とする円になります。
(円周角と中心角の関係)

回答No.3

gamma1854

l : m(x + 1) +y - 3 = 0
ゆえ、lは定点(-1, 3) を通ります。これからグラフをかけばわかります。
------------
きちんと計算するには、
AH を f(m) とすると、
f(m)=|m - 4|/(m^2+1), であり、f(-1/4)=√17 が最大値です。このとき、H(-1, 3) となっています。

回答No.2

noname#259849

それ最大値じゃ無くて最小値では？
任意の直線の長さが無限なら、任意の点から直線上の任意の点までの距離は無限大にしかなりません。

回答No.1

f272

何故と言われても？
点Pがどこにあるのかもわからないので，あなたの主張が正しいのかどうもわかりません。