(x1 + x2 + x3)^2の効率的な解き方

質問

https://mathtrain.jp/huhenbunsan
で、不偏性の証明のところで、

= {(2x1 - x2 - x)/3}^2 + {(-x1 + 2x2 - x3)/3}^2 + {(-x1 - x2 + 2x3)/3}^2
が展開されずにいきなり
= (6/9)(x1^2 + x2^2 + x3^2) + {(- 4 - 4 + 2)/9}(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3)
になっていますが、そんな便利な式があるのですか？

第二項の分子が-6じゃなくて、(- 4 - 4 + 2)と書かれているのがなにか怪しいです。
(x1 + x2 + x3)^2や(x + y + z)^2のように一般化しても構いません。

ちなみに、私はこれを全部展開してこの二行だけで30分かかりました。もう二度と解きたくないです。
では、よろしくお願いします。

回答No.2

phosphole · ベストアンサー

まず、これをまともに計算するのに３０分かけてはダメだ（たぶん、大げさに言っているだけなんだろうが・・・）。センター試験などで計算を訓練している高校生なら５分以内で終わらせるだろう。

私はこのページを書いた本人ではないので、ここの式変換を行う際に、間でまともに計算して項を整理したステップを省略したのか、最初から一般式を使ってやったのか（先のご回答のように）は知らんが、いずれにしても、ここの式変換はただの計算であって、この解説の本質でもなんでも無いのでどうでも良い。

で、式の変形だが、以下のような考察をすればいきなり変換はできるとは思うが、これを思いつくくらいなら、この解説ページに当たらなければいけないようなレベルではないだろう。

１）x1, x2, x3の平方の項
ｘ１について見ると、x1^2は(2x1)^2が１回、(-x1)^2が２回でるので、合計すると4+1+1 = 6が係数となる。
式が対称なので、x2, x3についても係数は６となる。

２）x1x2, x2x3, x3x1の項
x1x2についてみると、これが出てくるのは、最初の(2x1-x2-x3）からは(2x1)*(-x2) で係数-2, および(-x2)(x1)で係数-2、合計して－４
(-x1 + 2x2 - x3)からは(-x1)(2x2) で係数-2, （2x2)(-x1)で係数－２，合計して－４
(-x1-x2+2x3)からは(-x1)(-x2)で係数２
合計すると、-4 -4 +2 = -6となる。

x2x3, x3x1についても対称なので、係数は同じになる。

繰り返しになるが、この計算はこの問題の本質ではないので、ここにこだわるのは良い姿勢ではない。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。
一般的な式ではありませんが、全部展開するよりはずっと効率的ですね。本質的なところではないのですが、もし今回ここをスキップすると、またいつか本質的ではないところで躓きますよね。「いつやるか？今でしょ」ということで、次回は短く計算できるよう努めます。
ありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

(ax+by+cz)^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2 + 2(abxy+bcyz+cazx).
を、係数だけで処理しています。何も変わった計算ではありません。
ーーーー
さらに、Σ (ax+by+cz)^2 となれば多くの係数を処理しなければなりません。
ーーーーーーーーー
今の場合は分母の「９」は後回しにし、
(4+1+1)x^2+(1+4+1)y^2+(9+1+4)z^2
+ 2{(-2-2+1)xy+(3-2-2)xz+(-6+1-2)zx}
となります。

お礼

一般化された式を出されているので、一瞬ベストアンサーを差し上げようかと思ったのですが、最後の計算が間違っていますね。ということで、またの機会にお願いします。
ご回答ありがとうございました。