数Iの展開の問題についての質問

質問

(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3

の展開式が分かりません。

解説にはこの式の次の行に{(x+y)+2z}^3-{(x+y)-2z}^3と書いてあり、なぜそうなるのか、そこから分かりません。

ちなみに答えは48xyzです。詳しい解答をお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

F=(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3
「1項目と4項目」、「2項目と3項目」を組み合わせると
={(x+y+2z)^3-(x+y-2z)^3}-{(y+2z-x)^3+(2z+x-y)^3}
={((x+y)+2z)^3+((x+y-2z)^3}-{-(x-y-2z)^3+(x-y+2z)^3}
となります。お分かり？
更に計算を進めると
F={((x+y)+2z)^3+((x+y)-2z)^3}+{(x-y-2z)^3-(x-y+2z)^3}
={((x+y)+2z)^3+((x+y-2z)^3}+{((x-y)-2z)^3-((x-y)+2z)^3}
公式(A+B)^3+(A-B)^3=2A(A^2+3B^2), (A-B)^3-(A+B)^2=-2B(3A^2+B^2)を用いると
F=2(x+y){(x+y)^2+12z^2}-4z{3(x-y)^2+4z^2}
=2(x+y)^3+24(x+y)z^2-12z(x-y)^2-16z^3
=2x^3+2y^3-16z^3+6x^2*y+6xy^2+24yz^2+24xz^2-12y^2*z-12x^2*z+24xyz
となります。

お礼

非常にわかりやすく、ほんとうにありがとうございます！！
どちらも分かりやすくてBA悩みましたが、先着のほうにさせていただきます。

本当にありがとうございました。

回答No.1

mshr1962

(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-(2z+x-y)^3-(x+y-2z)^3

　↓　2z とx&yを分離すると

{(x+y)+2z}^3-{(y-x)+2z}^3-{(x-y)+2z}^3-{(x+y)-2z}^3

　↓　(x+y)、(y-x)があるのでまとめると

[{(x+y)+2z}^3-{(x+y)-2z}^3]-[{2z+(y-x)}^3+{2z-(y-x)}^3]

　↓　(A+B)^3-(A-B)^3=6AAB-2B^3,(A+B)^3+(A-B)^3=A^3-6ABBから

{12z(x+y)^2+8z^3}-{8z^3+12z(y-x)^2}

　↓ 後は展開して計算

12z(x+y)^2-12z(y-x)^2 = 12z{(x+y)^2-(y-x)^2} = 12z(4xy) = 48xyz