φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-φ(x,y,z)を一次の項まで展開

質問

φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-φ(x,y,z)を一次の項まで展開する問題について

何をどうすればいいのか分かりません。
どうすれば解けるのかヒントなど教えてください。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

先の質問は文字化けしてましたね。
可能なら削除しておいた方がよいと思います。

さて、本題ですが「微分の定義」に合うようにすれば導けると思います。
ごちゃごちゃするので、添付にしました。
（ちなみに、PowerPointで書いたものを JPEG化しただけですが ＾＾；）

同じ色のところは「足して引いて」いるところなので、値自体は変わっていません。

最後のところでは、φ(x, y, z)=φ(x+Δx, y+Δy, z+Δz)が成り立つということを暗黙に使っています。

お礼

なるほど！これは分かりやすいですね！
ご丁寧に画像までありがとうございました＞＜

回答No.3

hashioogi

全微分、またはテーラー展開を勉強されたら如何かと存じます。

お礼

多変数関数のテイラー展開の公式を見て1次まで展開でいけました。
テイラー展開をもっと勉強します＞＜
ありがとうございました。

回答No.1

Anti-Giants

f(t)=φ(x+tΔx,y+tΔz,z+tΔz)とおいて

f(1)-f(0)=f'(s),0<s<1.

φ(x+tΔx,y+tΔz,z+tΔz)-φ(x,y,z)
=φx(x+sΔx,y+sΔz,z+sΔz)Δx
　+φy(x+sΔx,y+sΔz,z+sΔz)Δy
　+φz(x+sΔx,y+sΔz,z+sΔz)Δz

φx,φy,φz、は偏微分。

一次の項までって、こういうことかな？

お礼

中間値の定理～平均値の定理～テイラー展開のつながりを理解していませんでした＞＜
勉強になりました。
ありがとうございました。

補足

素早い回答ありがとうございます。
すみません数学のレベルが高卒＋α程度なんで、なぜそうなるのかがわかりません。

参考書にあったものをより詳しく書くと

φ(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}

φ(x,y,z)=φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)が成立するとする。
この時、Δx,Δy,Δzを十分小さくしても成り立つ。
そこで右辺をそれらについて一次の項に展開する事により

φ(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-φ(x,y,z)≒δφ/δx Δx+δφ/δy Δy+δφ/δz Δz　

とあるのですが、
最後の左辺から右辺になぜそうなるのかがわからなくて・・・