超越関数Eiを使う方程式について

質問

超越関数Eiを使う方程式について
Ae610様やaquatarku5様の方法に従い考えてみました。

土、日とこの問題のことばかり考えています…助けて下さい。

x^2y''-5xy'+8y=e^x
に対して、x=e^tとしてtによる微分方程式を求めると、
y' = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y'e^(-t)
y''= dy'/dx = (dy'/dt)/(dx/dt) = e^(-2t){y''-y'}
与式に代入して、
e^(2t)e^(-2t){y''-y'}-5e^ty'e^(-t)+8y=e^e^t,
y''-6y'+8y=e^e^t…(1)

特性方程式より、z^2-6z+8=0,z=4,2
(1)を同次式とした場合の解はy = C1e^(4t)+C2e^(2t)
これに対し、y''-6y'+8y=e^e^tの解をy = Ae^(4t)+Be^(2t)として求める。…(2)

ここでhttp://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/De-03m2.pdf
http://okwave.jp/qa/q5832858.htmlを参考にします。

y'={A'e^(4t)+A4e^(4t)} + {B'e^(2t)+B2e^(2t)}
A'e^(4t)+B'e^(2t)=0とすると…(3)
y'=A4e^(4t)+B2e^(2t)
y''={A'4e^(4t)+A16e^(4t)} + {B'2e^(2t)+B4e^(2t)}
これらを(1)に代入して、A'4e^(4t)+B'2e^(2t)=e^e^tを得る…(4)

(3)と(4)を連立させて、A'=e^e^t/2e^(4t) , B'=e^e^t/-2e^(2t) を得る。
A=∫　e^e^t/2e^(4t) dt、ここでe^t=Zとして、
∫　e^z/(2z^4)・1/z dz = 1/2∫ e^z/z^5 dz
部分積分を反復して、-1/48{e^z(6/z^4+2/z^3+1/z^2+1/z)-Ei(z)}+C1を得る。(Cは積分定数)
zにe^tを代入してA=-1/48{e^e^t(6/(e^t)^4+2/(e^t)^3+1/(e^t)^2+1/e^t)-Ei(e^t)}+C1…(5)

B=∫ e^e^t/-2e^(2t) dt、ここでe^t=Zとして、
∫　e^z/(-2z^2)・1/z dz = -1/2∫ e^z/z^3 dz
部分積分を反復して、1/4{e^z(1/z^2+1/z)-Ei(z)}+C2を得る(Cは積分定数)
zにe^tを代入してB=1/4{e^e^t(1/(e^t)^2+1/e^t)-Ei(e^t)}+C2…(6)

(2)(5)(6)よりy=Ae^(4t)+Be^(2t) = -1/48{e^e^t(6 + 2e^t + e^(2t) + e^(3t))-e^(4t)Ei(e^t)}＋1/4{e^e^t(1+e^t)-e^(2t)Ei(e^t)}+C1e^(4t)+C2e^(2t)
<これが(1)の解>

(1)の解に対してe^t=xとすると、x^2y''-5xy'+8y=e^xの解が求められる。
y = C1x^4+C2x^2-1/48{e^x(6 + 2x + x^2 + x^3)-x^4Ei(x)}+1/4{e^x(1+x)-x^2Ei(x)}

以上で如何でしょうか？
かなり長くなりましたので計算ミスが心配です。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

以前に回答したものです。
前の回答に余計な未定常数（α1）,（α2）を付加してしまいましたが不要（誤り）でした。（スミマセン！）

当方が計算した概略は以下の通り。
質問者様も使われているオイラーの微分方程式(オイラー変形法)で一旦定数係数の微分方程式に変換して(y" - 6y' + 8 = 0・・・の)特性方程式から特殊解x^2,x^4を出す。
斉次方程式の一般解はC1・x^2 + C2・x^4
次に非斉次方程式の解を求めるため、2階の微分方程式の常数変化法からC1,C2に関する微分方程式を作ってC1,C2を求めると
C1 = －1/2・∫(e^x/x^3)dx
C2 = 1/2・∫(e^x/x^5)dx
という積分が出てきたので、これを計算して指数積分を含む多項式が一般解に付加される。

お礼

有難うございます、何とか解けました！