ガンマ関数の収束性（ｓ＝０の場合）

質問

ガンマ関数の収束性（ｓ＝０の場合）

ガンマ関数ｓ＞０の場合
x^(s-1)e^(-x)の０から無限大の積分の収束性は証明はよく知られていますが

s=0の場合の

０から無限大のx^(-1)e^(-x)のｘについての積分の収束するかどうか
証明したいのですが証明方法ご存じの方ご教示お願い致します。

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回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

一旦自分で考えてみましたか？先ほど書いた通りですが...

もうちょっと書くと x≦ 1/2であれば exp(-x)≧ exp(-1/2) > 4^(-1/2) = 1/2である故、∫[0<x<∞] x^(-1)e^(-x)dx > ∫[0<x<1/2] ( (x^(-1)) * (1/2) ) dx

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

phosphole

gamma(0)は定義できません。

https://www.quora.com/What-is-the-value-of-gamma-zero
にガンマ関数のグラフがありますが、０だと発散しますし、上側と下側で発散の方向も異なります。

お礼

コメントありがとうございます。
発散の証明をしたいのですが証明方法ご存じでしたらお願いします。

回答No.1

tmppassenger

x^(-1)e^(-x) の x=0付近の挙動を確認すれば、∫[0<x<∞] x^(-1)e^(-x)dx が収束しないことは明らかです。一度御自身で確認してみてください。

お礼

ありがとうございます。
発散の証明方法ご存じでしたらお願い致します。