ベストアンサー 積分の収束判定 2010/01/27 17:50 続けて質問すいません.. sin(x^2)とcos(x^2)の0から無限大までの積分の収束判定の方法がわかりません。答えはどちらも収束するんですが… 回答いただけると嬉しいです＊ みんなの回答 （2） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー alice_38 ベストアンサー率43% (75/172) 2010/01/28 02:17 回答No.2 cos(x~2)±i・sin(x~2) の積分を、 オイラーの等式を使って ガウス積分に帰着すればよいです。 質問者 お礼 2010/02/07 15:17 ありがとうございました。 参考にさせていただきます。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） その他の回答 (1) info22_ ベストアンサー率67% (2650/3922) 2010/01/27 18:35 回答No.1 積分サイトや数式処理ソフトで積分すると両積分とも (1/4)√(2π)≒0.626657... に収束します。 質問者 お礼 2010/02/07 15:16 回答ありがとうございました！ 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 広義積分の収束判定について。 広義積分∫[0→∞]e^(－x^2)cos(2ax)dxが収束することを示せ。という問題を教えて欲しいのですが、特異点がある時や非有界の時、ロピタルの定理を使った判定などの収束判定の仕方がいまいち整理できていないので出来ればそれも含めて教えて欲しいです。 積分が収束する証明 xを変数とする関数 関数 sin(x^2) を x で ０から無限大まで 積分するとその値は収束すると思います。（^2 は二乗の意味） 収束値は問いませんので、収束することを証明したいのですが 難しいです。どなたか証明して頂けないでしょうか。 不定積分と広義積分の収束判定 ∫(0－∞)sinx/xdx が解けません。ヒントでもよいのでお願いします。 過去にも同様の質問がありましたが回答みてもよくわかりませんでした。 収束判定するときに優関数を選ぶコツっていうのはあるんでしょうか？ あと ∫e^x/xdx ∫sinx/xdx の不定積分はどうなるんでしょうか？ 無限積分？の収束・発散 ∫ｓｉｎ(ｘ^ｐ)ｄｘ (積分範囲は１→∞)の収束・発散を判定せよ(ｐは定数)、という問題があるのですが、判定法がわかりません。ヒントをください(>_<) 無限積分の問題 次の問題の解き方を教えてください。 【問題】 ＋∞ ∫{1/(1+x^2)}dx を求めよ －∞ 次のように解答を進めました -------------------------------------------------------------------- 【解答】 まず、∫{1/(1+x^2)}dxについて考える。 x=tanθとおくと、 dx/dθ=1/cos^2θ から、 dx=dθ/cos^2θである。 1+x^2=1+ tan^2θ=1+sin^2θ/cos^2θ = 1/cos^2θ よって、1/(1+x^2)=cos^2θ したがって、∫{1/(1+x^2)}dx は、∫cos^2θ*(dθ/cos^2θ)=θ+c=tan^-1x+C ------------------------------------------------------------------- このようになりました。 しかし、この後、どう無限積分につなげていき、解くべきかわかりません。 cos^2θを、無限積分で解くという形になるのでしょうか。 しかし、例えそうだったとしても、解答がどうなるのかわかりません。 コサインの無限積分は収束して確かに存在する・・・・・・ジャイロ・ツェペリの黄金回転でしょうか？ どなたか、何卒お力添えください。 ニョホホホ。 広義2重積分の収束判定法について質問です。 aを実数とし、f(x, y)は、f(x,y)>0かつxとyについて対称な関数とします。このとき、画像の広義2重積分が収束するか否かを判定する一般的な方法はあるでしょうか？ あるのでしたら、どのように判定すればよいかを教えてください。 積分の問題です こんにちは。 ∫[-1,1] {x*(4x^3 - 3x)}/√（1-x^2） dx を計算せよ という問題の答えを教えていただきたいです。 自分でやってみたところ、 x=cosθ(0≦θ≦π)と置いて、4x^3-3x＝cos3θとなることを利用すると、与式は ∫[0,π] cosθcos3θdθ ＝3∫[0,π]sinθsin3θdθ （部分積分） ＝9∫[0,π]cosθcos3θdθ （もう一度部分積分） となるため、結局答えが0になってしまうのですが、これで合っているでしょうか？ どうぞよろしくお願いします。 無限級数の収束判定 無限級数は必ず収束判定できるのでしょうか？ 特に、絶対収束しないような級数でダランベールの方法や、ベキ級数におけるコーシーの方法では判断つかないようなケースでも必ず何がしかの方法で判定できるのでしょうか？ 判定できない例はあるのでしょうか？ 級数の収束判定 今、無限級数の収束判定の問題を解いてるのですが、2問どうしても 解けない問題があり困ってます。 その問題は、 以下の無限級数が収束するか、発散するか調べよ。 1. Σ｛n/(n+1)}^(n^2) 2. Σ 1/{{ln n}^(ln n)} 1.は明らかにコーシーの収束判定法を使う形に見えるのですが、 ｜｛n/(n+1)}^(n^2)｜のn乗根は １に収束してしまうので、コーシーは使えません。ダランベールの収束判定も考えたのですが、うまくいかないです。 2.これもコーシーの収束判定法を使うのかと思ったのですが、ln n 乗があるため、うまく計算できません。 上記の問題、どなたかアドバイスをいただけないでしょうか。 よろしくお願いします。 広義積分の収束と発散の問題 ∫[0,π](1/√(sin x))dx この広義積分の収束と発散を判定せよという問題なのですが解放を教えてください。 現在講義で習ったのが f(x):[a,b)で連続 ョμ≧1 lim(x→b-0) (b-x)^μ*f(x)が収束 ならば ∫[a,b]f(x)dxは発散 という内容なのでこれをうまく利用するみたいですが、まったく解法が浮かびません… どうかお助け願います。 広義積分可能かどうかの判定問題 タイトルどおりですが、広義積分可能かどうかの判定を行い、可能な場合はその値を求める問題です。 広義積分云々以前に積分をしばらくやっていなかったために、解法がわからなかくなり、参考資料もなかったので質問いたしました。 (問) ∫(1→∞)sinx/cos^2x+x^2dx この積分の途中式を中心に、解いていただけると助かります。ご回答よろしくお願いします。 積分 1/sin^3x 問題 積分 1/sin^3x 問題 ∫{1/(sin x)^3}dxについて 調べた結果、sinx=cos(x-π/2)として、θ=x-π/2と置換する。 ∫{1/(cos（x-π/2）)^3}dx （x-π/2）=θとおくと、dθ/dx＝1よりdθ=dx ∫{1/(cosθ)^3}dθとなります。 あとは、1/cos^3xの積分と同じで、 1/2（sinθ/cos^2θ）+1/4log（1+sinθ/1-sinθ）+C のθをx-π/2に戻すと、 1/2（sin（x-π/2）/cos^2（x-π/2））+1/4log（1+sin（x-π/2）/1-sin（x-π/2））+C で答えは合っているのでしょうか？ cos^2（x-π/2）=sin^2xとしなければいけないのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。 定積分の応用 定積分の応用 あるサイトで見た問題の解き方ですが， ∫[0→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx = ∫[0→π/4] sin x / (sin x + cos x) dx + ∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dx ここで右側の∫[π/4→π/2] sin x / (sin x + cos x) dxを = ∫[0→π/4] sin(π/2 -x) / (sin(π/2 -x) + cos(π/2 -x)) dx としていました． 質問ですが x をπ/2 - xに置き換える，というようなことはしても良いのでしょうか? 普通ならt = π/2 -xにして違う文字に置き換えますよね…? （t = … で計算したら答えにたどりつけませんでした） 答えは ∫[0→π/4] 1 dx = π/4 になっていました． 積分の問題が分かりません 以下の広義積分が収束するか判定せよ。ただしその値は求めなくてよい。 1. x^p*(1-x)^q を0から1までｘで積分 p,qは0以下の実数でp,qの値で場合分け 2. cos(x)/x を0から∞まで積分 という問題です。助けてください 複素関数の積分 答えられるのだけでいいのでどなたか是非お願いします；； （1）次の積分（余弦、正弦を含む積分）を計算過程を示して求めよ (1)∫0~π dθ/k+cosθ （ｋ＞１） (2)∫0~2π 1+sinθ/3+cosθ dθ (3)∫0~π cosθ/17-8cosθ dθ （2）次の積分（無限大の区間の特異積分）を計算過程を示して求めよ (4)∫-∞~∞ dx/(1+x^2)^2 (5)∫-∞~∞ x^3/1+x^8 dx (6)∫-∞~∞ x^2/(x^2+1)(x^2+4) dx 線積分 原点を中心とする半径１の円に反時計回りに向き付けを与えた閉曲線をcとするとき、次の線積分を求めよ。 ∫c (x^2+y^2)dx + xydy という問題なのですが、x=cosθ,y=sinθ,0≦θ＜2πと置き、積分を進めていくと、 ∫ (cosθ)'+sinθcosθ(sinθ)' dθ =0+1/2∫(cos2θsinθ+sinθ)dθ =0 になってしまったのですが、答えは０にはならないですよね？どこが違うか教えてください。お願いします。 広義積分の収束する条件 ∫[x=0,∞] (x^p)sin(x^q) dx pは実数、q>0 という広義積分の絶対収束、条件収束するようなp,qの範囲をそれぞれ求めないといけないんですが、さっぱりわかりません。 Cx^s でおさえるのかなと思ったんですが無理みたいだし‥助けてください。 ガンマ関数の収束性（ｓ＝０の場合） ガンマ関数の収束性（ｓ＝０の場合） ガンマ関数ｓ＞０の場合 x^(s-1)e^(-x)の０から無限大の積分の収束性は証明はよく知られていますが s=0の場合の ０から無限大のx^(-1)e^(-x)のｘについての積分の収束するかどうか 証明したいのですが証明方法ご存じの方ご教示お願い致します。 共感した 0 ある積分計算の違和感について質問です。 ある積分計算の違和感について質問です。 【問題】 関数sin(x)cos(x)を区間[-π,π]で定積分した値を求めよ。 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx 以上の計算について、次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか？ 積分区間が0になってしまうところに違和感がありますが、 正しく導けている？？？ 数学的に何が起きているのでしょうか？ 【解答】 t=sin(x)とおく。 このとき、dt = cos(x)より sin(x)cos(x)dx = t dt また，x : -π → π のとき t : 0 → 0 したがって、 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx =Int_[0,0]{t}dt =0 sin(x)cos(x)が奇関数であることや、２倍各の公式sin(x)cos(x)=sin(2x)/2を利用した方法でも答えは０であることはあってるのですが…。 よろしくお願いします。 部分積分法で定積分を求めたいのですが～ 問題集を解いていますが、3つ分からない問題がありました。 部分積分法で求めた時の途中式～答えまでの流れを教えてください。 お手数ですが、宜しくお願いします。 (1) ∫(0→π/2) x cos2x dx (2) ∫(0→π/4) x^(2) sin2x dx (3) ∫(0→2π) e^(x) cos x dx 答え (1) -1/2 (2) π/8 - 1/4 (3) { e^(2π)－1 } / 2 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば？ 緊急性のない救急車の利用は罪になるの？ 助手席で寝ると怒る運転手 世界がＥV車に全部切り替えてしまうなら ハズキルーペのCMって…。 全て黒の5色ペンが、欲しいです 長距離だったりしても 老人ホームが自分の住所になるのか？ 彼氏と付き合って2日目で別れを告げられショックです 店長のチクチク言葉の対処法 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど
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ありがとうございました。 参考にさせていただきます。