積分結果が発散しない関数の限界

質問

1/xを積分するとlog xとなり、これはxを無限大に飛ばすと発散します。
1/x (log x)^2を積分すると、1/log xとなりこれは0に収束します。
このように積分した結果の関数が発散しないようなものの限界はどこにあるのでしょうか？
例えば、
1/x log x (log log x)^2を積分すると1/log log xで収束。
1/x log log xだと積分するとLi(log x)で発散です。

回答No.3

noname#121794

遅くなったがかなりおもしろい問題だわ。
f(x)=logx,f2(x)=f(f(x))とdefして
G(x)=1/x(f(x))^k1(f2(x))^k2(f3(x))^k3・・・・・(fn(x))^kn
について考えてみる。(nは1以上の自然数、k1,・・・,knは0以上の実定数)
独自の計算結果により次のことが分かっている。

(i) k1,・・・・・,kn>1 ならば
G(x)をある値から∞まで積分すると収束する。以降その積分値を単にJとおく。

(ii) k1,・・・・・,knが全て1ならば
Jは発散する。もちろんk1,・・・・・,kn≦1の範囲であっても同じ

(iii)
　　　k1=k2=・・・・k(n-1)=1かつkn>1ならばJは収束する。

(1V)
任意の自然数i(1≦i≦n)に対してk1,・・・,ki>1かつ0≦k(i＋1),・・・・,kn≦1 であれば
Jは収束する。

以上からしてk1,・・・・・,knが全て1で境目がつく気もするが安易にそう考えてはいけないのが
その質問の趣旨。以下の場合のみまだ自分でもできていない

k1,・・・・,ki<1 かつk(i＋1),・・・・・,kn>1のときJは収束するかどうか。
　(iは1≦i≦nでのある自然数)

それを考えて後日時間かかるかもしれないが投稿する予定。

回答No.2

noname#121794

おかしくもなんともない。情けないミスだ。すまん
x>1で1/(x log x)<1/xlog(logx)だから1/xlog(logx)を1から∞まで積分すれば発散するのは当たり前だ。まあそれはおいといて
1/x(logx)^kについて考えると
∫1/x(logx)^k
＝{(logx)^(1-k)}/1-kだから
k>1ならばある値(ただし1よりは大きい)から∞にそって積分すれば

∫1/x(logx)^k　はきっちりと収束する。だからとりあえず境目は1/x(logx)になるのかな。

補足

>だからとりあえず境目は1/x(logx)になるのかな。
繰り返しになりますが、これがどこまで精密化できるかが問題です。
1/x(log x)(log log x)の積分は発散しますが、
1/x(log x)(log log x)^2の積分は収束します。
logを取るのを繰り返せば、どんどん精密化できます。
この境目を数式で書くことはできるのでしょうか？

回答No.1

noname#121794

もともとの関数の条件がなんだかは分からないが、以下のように考えてみればよい。

f(x)=x^k(kは実定数)とおいてf(x)をある値aから∞のそって積分する。
すると∫f(x)dx (a～∞)＝[(x^(k＋1))/(k＋1)]|x=∞ー[(x^(k＋1))/(k＋1)]|x=a

ここでk＋1>0ならば発散し、k＋1≦0なら収束する。
>>1/x log log xだと積分するとLi(log x)で発散です。
おかしいなあ。積分区間は何？

補足

x^{-k}の場合はゼータ関数との関連でよく知られています。
問題はk=1の場合の精密化です。
1/(x log x)ではlog log xで発散しますが、
1/(x log x (log x)^2)では1/log log xで収束するので、
境目はこの二つの間にあることは明らかです。

>>1/x log log xだと積分するとLi(log x)で発散です。
>おかしいなあ。積分区間は何？
\int_1^\infty 1/(x\log \log x)=[Li(\log x)]_1^\infty=+\infty
です。