関数列Fj(x) (-1≦x≦1)が0に収束するのに、区間において積分したら無限大になることってあり得ないと思います

質問

関数列Fj(x)(j=1,2,3,…)が-1≦x≦1 に対して、以下を満たす。

Fj(x)→0 かつ 　∫Fj(x)dx (ただし-1から1まで積分する)→∞　
(いずれもj→∞のとき)

またFj(x)(j=1,2,3,…)は-1≦x≦1 において、連続な関数とする。
このときFj(x)(-1≦x≦1)というのは存在するのでしょうか？
Fj(x)が0に収束するのに、有界区間で積分したら∞に発散することは
どう考えてもあり得ないと思いますが。
だって有界区間内でどこにxをとってもFj(x)が0に収束するのに
面積が∞に近づくというのは・・・

回答No.2

PRFRD · ベストアンサー

No.1さんのいうとおりなのですが，もう少し詳しく．

> 有界区間内でどこにxをとってもFj(x)が0に収束するのに
ということは，Fj(x) → 0 は各点収束の意味，すなわち
「任意の x について Fj(x) → 0」
ということでよいのですよね．

だとすれば簡単に例が作れて，Fj(x) を
・x ≦ 0 と x ≧ 1/j では 0 を取る
・[0, 1/2j] において傾き j^2 で上がっていく
・[1/2j, 1/j] において傾き -j^2 で下がっていく
関数とすると，明らかに連続で，明らかに積分が発散するのに，
各点収束極限はゼロとなります．

回答No.1

Tacosan

「Fj(x)→0」の定義によったりして.