数列について。

質問

次の問題で、x∧nをn回微分したものの数列の一般項とその証明をお願いできないでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.2

phosphole · ベストアンサー

元の関数とn回微分したものを並べてみる
x : 1
x^2 : 2x : 2*1
x^3 : 3x^2 : 3*2*x : 3*2*1
x^4: 4x^3 : 4*3*x^2 : 4*3*2 * x : 4*3*2*1
x^5 : 5x^4 : 5*4*x^3 : 5*4*3x^2 : 5*4*3*2x : 5*4*3*2*1
ということで、x^nをｎ回微分するとn!となると予想される。
そこで、x^nのn回微分はn!であると仮定する。
上記のとおり、n = 1のときは明らかに成立している。

つぎにn+1にしたときを考える。
x^(n+1) を（n+1）回微分するのだが、まず一階微分してみる。
(x^(n+1))' = (n+1)x^n
となるが、上記の仮定で、(x^n)をｎ回微分するとn!となるのだから、結局x^(n+1)を(n+1)回微分すれば、(n+1) * n!、すなわち(n+1)!となる。
n のときに成り立つとするとn+1のときも成り立ち、また上記のとおりn = 1のときも成り立つので、この式は任意の自然数nのときに成立する。

回答No.1

asuncion

＞次の問題で、
これはどこにあるのですか？

補足

すみません。次はありません。この問題x∧nをn回微分したものの数列で一般項とその証明をおお願いできないでしょうか？でした。失礼致しました。