数列についての問題です

質問

xを非負の数とし、rを0<r<1とするとき、

f(x) = x・r^x

と定義する。このとき、nを正の数とし数列{a(n)}の一般項を

a(n) = f(n-1)

で表す。この時の初項から第n項までの和を求めよ。

という問題なのですが、数列が苦手ゆえ、
どのように解けばいいのか分からず困っています。
どうかこの問題についての考え方を教えて頂けないでしょうか
宜しくお願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

a(n)=f(n-1)=(n-1)r^(n-1)
a(1)=0
a(2)=r
a(3)=2r^2
a(4)=3r^3
・
・
・
a(n)=(n-1)r^(n-1)
S=0+r+2r^2+3r^3+・・・・・+(n-1)r^(n-1)とおくと
rS=0+r^2+2r^3+3r^4+・・・・・+(n-2)r^(n-1)+(n-1)r^n
S-rS=r+r^2+r^3+r^4+・・・・・+r^(n-1)-(n-1)r^n
よって
S-rS+(n-1)r^n=r+r^2+r^3+r^4+・・・・・+r^(n-1)=(r-r^n)/(1-r)
S(1-r)={(r-r^n)/(1-r)}-(n-1)r^n={r(1-r^n)/(1-r)}-nr^n
S={r(1-r^n)/(1-r)^2}-nr^n/(1-r)・・・答え

お礼

ありがとうございます。おかげ様で解けました。