数列の問題が分かりません

質問

次の数列の一般項と初項から第n項までの和を求めよ。

(1)2,3,6,11,18,27,...

(2)2,3,5,9.17,...

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.2です．すいません．さらに和をとるのを忘れていました．

(1)階差数列を｛b_n｝とすると，b_n:1,3,5,7,9,・・・ゆえにb_n=2n-1．よってn≧2のとき

2+Σ_{k=1}^{n-1}(2k-1)=2+(n-1)^2（n番目までの正の奇数和はn番目の平方数）

これはn=1でも成り立つ．よってもとめる数列の一般項a_n=2+(n-1)^2=n^2-2n+3(n=1,2,3,・・・).

Σ_{k=1}^na_n=Σ_{k=1}^nk^2-2Σ_{k=1}^nk+Σ_{k=1}^n3=(1/6)n(n+1)(2n+1)-2(1/2)n(n+1)+3n=(1/6)n(2n^2+3n+1-6n-6+18)
=(1/6)n(2n^2-3n+13)

(2)階差数列を｛b_n｝とすると，b_n:1,2,4,8,・・・ゆえにb_n=2^{n-1}．よってn≧2のとき

2+Σ_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=2+(2^{n-1}-1)/(2-1)=2^{n-1}+1

これはn=1でも成り立つ．よってもとめる数列の一般項a_n=2＾{n-1}+1(n=1,2,3,・・・).

Σ_{k=1}^na_n=Σ_{k=1}^n2^{k-1}+Σ_{k=1}^n1=(2^n-1)/(2-1)+n=2^n+n-1

お礼

詳しい解答ありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

(1)階差数列を｛b_n｝とすると，b_n:1,3,5,7,9,・・・ゆえにb_n=2n-1．よってn≧2のとき

2+Σ_{k=1}^{n-1}(2k-1)=2+(n-1)^2（n番目までの正の奇数和はn番目の平方数）

これはn=1でも成り立つ．よって2+(n-1)^2=n^2-2n+3(n=1,2,3,・・・).

(2)階差数列を｛b_n｝とすると，b_n:1,2,4,8,・・・ゆえにb_n=2^{n-1}．よってn≧2のとき

2+Σ_{k=1}^{n-1}2^{k-1}=2+(2^{n-1}-1)/(2-1)=2^{n-1}+1

これはn=1でも成り立つ．よって2＾{n-1}+1(n=1,2,3,・・・).

お礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.1

info22_

(1)2,3,6,11,18,27,...
a1=2,
a2-a1=1
a3-a2=3
a4-a3=5
a5-a4=7
a6-a5=9
...
an-a(n-1)=2(n-1)-1=2n-3
辺々加えて
an=2+Σ[k=2,n](2k-3)=2+2((n-1)(n+2)/2)-3(n-1)=2+(n^2+n-2)-3n+3=n^2-2n+3 (n≧2)
a1=2より
∴an=n^2-2n+3 (n≧1)
Sn=Σ[1,n] an=Σ[1,n] (n^2-2n+3)
=(1/6)n(n+1)(2n+1)-n(n+1)+3n
=(1/6)n(2n^2 -3n+13)

(2)2,3,5,9.17,...
a1=2
a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=4
a5-a4=8
...
an-a(n-1)=2^(n-2) (n≧2)
辺々加えて
an=2+Σ[k=2,n] 2^(k-2)=2+(2^(n-1) -1)/(2-1)
=2^(n-1) +1 (n≧2)
a1=1より
∴an=2^(n-1) +1 (n≧1)

Sn=Σ[k=1,n] 2^(k-1) +Σ[k=1,n] 1
=(2^n -1)/(2-1) +n
∴Sn=n-1 +2^n

お礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。