合成関数の微分法について

質問

合成関数の微分公式について質問です

dy/dx = dy/du * du/dx

この公式の代数的証明は教科書に載っています。
でもなんかしっくりこないです。形式的に見えます

微分っていうのは接線の傾きを求めることなんですよね
この認識のもとに立って、合成関数を幾何的な考え方で
納得したいんです。そうでなくても、公式の本質を少しでも
理解したいです。どなたかご教授お願いします。
不明な点は補足します。おっしゃってください。

回答No.2

arrysthmia

＞ 形式的に見えます

ライプニッツ流の記法は、形式が内容を物語るから
秀逸なのですが…

意味で考えたいのであれば、
微分 = 接線の傾き と捉えるより、
微分 = 変化の割合 と捉えるほうが基本的 な気がします。
変化の割合 を、グラフに当てはめると、派生的に
接線の傾きが出てくる。
グラフなしでも、関数は考えられます。

と、すれば、
dy/dx = (du/dx)(dy/du) の意味は
x の変化に対する y の変化の割合 = (x の変化に対する u の変化の割合)(u の変化に対する y の変化の割合)
であって、これは非常に直感的な式です。

回答No.1

R_Earl

おもしろそうなので、ちょっと考えてみました。
合っているかどうかは分かりませんが。

Δy/Δuはuy平面における接線の傾きです。
「uy平面での変化量」から「xy平面での変化量」へ変換するには、
横方向にΔx/Δu倍引き延ばせば良いです。
横方向をΔx/Δu倍すれば、直線の傾きはその逆数倍(Δu/Δx倍)になります
(例えばxy平面上にy = xを描いたあと、x軸方向を2倍に引き延ばすことを考えると
直線はy = (1/2)xになります)。
よってuy平面における接線をxy平面の接戦に変換させると、その傾きは
(Δy/Δu)(Δu/Δx)
となる。

こんな感じでどうでしょうか。