数３の「eのh乗引く１をでｈ割った式」

質問

eのh乗から１を引いたものをhで割った式でh→０のとき極限値「１」は、「eのx乗の関数」の微分公式から導けるのは理解することはできます。

上記のことは、教科書で見かける「e」を定義するとき、式「（１＋h）のh分の１乗」でh→０の極限値を「e」とする、という公式から導けるのでしょうか。そこんとろを説明した参考書を寡聞してしりません。
ここから導けないとしたら、なんか、「１」を導く上記の微分を利用した公式も循環論のように思えるのですが。

どう理解したものでしょうか。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

ひとつの方法として・・・
e^h－1＝xとでも置いてみる。
するとe^h＝1+xとなるので、両辺の自然対数（lnと表記）を取ると
h＝ln(1+x)
h→0のときx→0となるので
lim(h→0)(e^h－1)/h
＝lim(x→0)｛x/ln(1+x)｝
＝lim(x→0)｛1/(ln(1+x)^(1/x))｝
＝1/lim(x→0)(ln(1+x)^(1/x))
＝1/ln(e)
＝1

お礼

ありがとうございます。
置き換えてから、ログにもちこむ（といっても、あの簡単とはいえない定義＝手続き＝変形に）とは気づきませんでした。
いやあ、驚きました。半日、考えた末に投稿したんですが、これですっきりしました。
こういうような箇所をさも当たり前のように使用されては、初学者には、ほんと、かないませんよ。
ありがとうございました。