数学III 微分の応用

質問

y=x^2/2とy=a(>0)で囲まれた図形をy軸まわりに回転してできる立体を容器と考える。このとき、x軸は水面上にあり、y軸は水平面に垂直とする。

毎秒体積vの水を注ぐ。ただしvは定数。以下の値をv,aを用いて表せ。
水面の高さがa/2に達するのは何秒後か。またその時の水面の半径r,高さhの増加する速さ、半径の増加する速さを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

まず、水面の高さがｈであるときの水の体積V(h)は、
V(h)=pi*h^2.
ですからこれを時間ｔで微分して、dV/dt=2*pi*h*(dh/dt).
dV/dt=v(定数)ゆえ、dh/dt=v/(2pi*h), .... 高さの増加する速さ.
また、高さがｈであるとき、水面の円の半径は r=√(2h) ですから、
dr/dt={1/√(2h)}*v/(2pi*h).
などを参考にしてまとめてください。

お礼

無事に解けました。ありがとうございました。