積分の応用（高校数学）

質問

東北大学の学生の学生さんでしたら、見覚えがある問題かもしれません。

『xyz空間に、図形
Ｆ：０≦ｚ≦１ーｘ＾２　、ｙ＝０と、点Ａ（a,1,0)　（０≦a≦１）を通りxy平面に垂直な直線ｌがある。
図形Ｆをｌ（エル）の周りに一回転してできる立体Ｋの体積Ｖを求めよ。』

学校の問題演習でやる予定の問題で、予習の段階でつまずきました。
ヒントなり、方針なりありましたら教えてください。

（参照）
私は、立体Ｋにおけるｚ＝αの断面を考え、その面積をだそうかなぁと思ってやってみましたが、それすら文字が多すぎて出来ませんでした。と言うより、断面がどうなっているのかすら、わかりませんでした。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#3です。

A#3はFの曲線の回転で作られる
z=1-x^2,y=0の曲線の0<=z<=1の範囲の曲線図形を直線lのまわりに回転したときに通過する領域の体積を求めたものになっています。
したがって、問題の題意と異なります。勘違いして申し訳ないです。

問題の題意では、0<=z<=1-x^2,y=0の閉じた面の領域の図形を直線lのまわりに回転したときに通過する領域の体積Vを求める問題となっていますので、A#3で求めた体積や図形は、この問題では以下のように差し替えてください。
A#3の図に対応する図のx>=0の領域のグラフを改めて描きました。
a=0.5の場合の領域の図形は水色で塗りつぶしてあります。回転体の内側は（半径=1の内面）となっているのがA#3の図と異なる箇所です。

求める回転体の体積Vは
a=0の場合
　V=π∫[0,1] x2^2-1dz=π∫[0,1] ((1-z)^2+1-1) dz
=π∫[0,1] (1-z)^2 dz =2π/3
a=1の場合
　V=π∫[0,1] (x2^2-x1^2)dz=π∫[0,1] 4√(1-z) dz
=8π/3
0<a<1の場合
この場合はzの積分領域を0≦z≦1-a^2と1-a^2≦z≦1の２つに分割して積分する必要がある。
　V=π∫[0,1-a^2] (x2^2-1)dz
+π∫[1-a^2,1] (x2^2-x1^2)dz
=π∫[0,1-a^2] 1+(a+(1-z)^(1/2))^2 -1 dz
+π∫[1-a^2,1] (1+(a+(1-z)^(1/2))^2-(1+(a-(1-z)^(1/2))^2)dz
=π∫[0,1-a^2] (a+(1-z)^(1/2))^2 dz
+π∫[1-a^2,1] ((a+(1-z)^(1/2))^2-(a-(1-z)^(1/2))^2 dz
=π(-a^4+6a^2+8a+3)/6

（注）計算結果は自信がないので間違ってる可能性があります。
　　自分で計算して確認してください。

参考URL：

http://naop.jp/text/3/seki15.html

お礼

回答ありがとうございました

回答No.6

naniwacchi

#4です。
（なんか、かわりばんこになってしまってますが ＾＾；）

答えは #5さんの最後の式に同じになります。

ドーナツの面積の式は、z＝ 1-a^2を境界としてそれぞれ
S1(z)
＝ π*{ (a+√(1-z))^2+ 1 }- π* 1^2
＝ π*{ a^2+1 +2a√(1-z)- z }

S2(z)
＝ π*{ (a+√(1-z))^2+ 1 }- π*{ (a-√(1-z))^2+ 1 }
＝ 4πa√(1-z)

となります。
これが導ければ、あとは積分計算だけですね。＾＾

お礼

回答ありがとうございました

回答No.4

naniwacchi

#2です。

少し考えてみました。
#3さんは平行移動させていますが、しなくてもいいような気がします。
以下にその方法を記していきます。

#2でも書いたように、立体Kがどのようになるかを添付の左に記しておきました。

・その立体Kを平面：z＝αで切った断面を考えます。（添付の右）
立体から切り取られた線分が回転すると、ドーナツ型の図形が現れます。
その外側の半径は、三平方の定理から R(α)^2＝ { a+√(1-α) }^2+ 1となります。

・ドーナツの内側の半径ですが、場合分けが必要です。
図のように √(1-α)≧ aのとき（パターンI）は、内側の半径は 1になります。
ところが、√(1-α)≦ aのとき（パターンII）では、(内側の半径)^2は { 1-√(1-α) }^2+ 1になります。

√(1-α)というのは、線分の端となる x座標の絶対値を表しています。

・それぞれのパターンでのドーナツの面積を S1(α)、S2(α)とすれば、
体積：Vは
V＝ ∫[0, 1-a^2] S1(α) dα＋∫[1-a^2, 1] S2(α) dα

となります。
αで積分としていますが、そもそもは z座標を表しているので zで表してもいいと思います。
（計算するときは、その方が見やすくわかりよいかも）

答えは aの 4次式になりました。
計算過程では、√(1-z)の積分がキーですね。

あと、a＝ 0のとき、V＝ 0とはなりえないので・・・

参考になれば、幸いです。＾＾

お礼

回答ありがとうございました

久しぶりにやってみたら出来ました。
ありがとうございました

回答No.3

info22_

回転体Kを平面y=1で切断した時の断面の境界線は
y=1,z=1-(a±√((x-a)^2-1))^2,z=0…(☆)
となります。

立体Kの回転中心の軸lがz軸に重なるように立体Kをx軸方向に-a,y軸方向に-1平行移動すると
(☆)の境界線の式は
y=0,z=1-(a±√(x^2-1))^2,z=0　…(★)
となり、z軸を回転体の中心に持ってくることができて、
回転体の体積公式が使えます。
回転軸lをZ軸に(-a,-1,0)だけ傾向移動したときの回転体のY=0の断面の図を
添付しておきます。aの値を0,0.5,1の場合の(★)のzの式のグラフをプロットし、
a=0.5の場合のKの切断面を水色に塗りつぶして示しておきました。
Kの体積V
=π∫[0,1] (x2^2-x1^2)dz
=π∫[0,1] ((a+√(1-z))^2-(a-√(1-z))^2)dz
=π∫[0,1] 4a√(1-z)dz
=8πa/3

お礼

回答ありがとうございました

わかりやすい図をありがとうございました

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

（参照）で書かれている考え方はいいと思います。＾＾
あとは、実際にどう考えるかですね。

単純に「上から見た図」を想像してみてはどうでしょう？
回転させる前での「上から見た図」です。

図形Fは横から見れば放物線で囲まれた面になっていますが、
スパッと横に切った「切り口」は線分になっているはずです。
その線分が、点A(α)(a, 1, α)を中心として回転させられます。
線分上で、点A(α)にもっとも近い点、もっとも遠い点がわかれば、あとは流れに乗って・・・

図を描いて、順を追っていけばできると思います。
（図を描いたり、頭に思い浮かべるのが、この手の問題の一番のポイントでしょうが）

お礼

回答ありがとうございました

参考になりました

回答No.1

alice_44

とりあえず、b = √(a^2 + 1) と置いて、xz平面内で考える。
z = α の断面もよいが、x^2 + y^2 = α^2 での断面を考えて
http://jyukenblog.cocolog-nifty.com/math/2009/02/post-eb9d.html
↑バームクーヘンのように処理するのが楽かも。

お礼

回答ありがとうございました。

バームクーヘンは思いもつきませんでした。
ありがとうございました