高校数学III 積分法 (回転体の体積)

質問

早速ですが、「アステロイド x=(cosx)3乗、y=(sinx)3乗 (0≦θ≦π) とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ」という問題です。立式から宜しくお願いします。念のため問題文の画像を載せたツイートのリンクを書いておきます(https://twitter.com/iclouduserishii/status/520587173989330945)

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

V=∫[-1,1] πy^2 dx
=π∫[π,0] (sinθ)^6 ・3(cosθ)^2・(-sinθ) dθ
=3π∫[π,0] (1-(cosθ)^2)^3・(cosθ)^2d(cosθ)
cosθ=tとおくと
=3π∫[-1,1] (1-t^2)^3・t^2 dt
=6π∫[0,1] (1-t^2)^3・t^2 dt
=6π∫[0,1] (t^2-3t^4+3t^6-t^8) dt
=6π[t^3/3-3t^5/5+3t^7/7-t^9/9][0,1]
=6π[(1/3)-(3/5)+(3/7)-9)]
=(32/105)π　…(答)

お礼

ご丁寧に有難うございます。とても助かりました。また機会がありましたら宜しくお願いします。

回答No.2

info222_

No.1です。

最後から2行目の式に転記ミスがありましたので訂正します。

誤： =6π[(1/3)-(3/5)+(3/7)-9)]
正： =6π[(1/3)-(3/5)+(3/7)-(1/9)]

なお、一行だけの入力ミスなので答えの方は合っています。