数学の難問です。わかりません。

質問

曲線y=sinx(0≦x≦π)をx軸の周りに回転させてできる立体Kを考える。このKをx軸に垂直な2n-1個の平面によって2n個の部分に分割し、分割されたおのおのの部分の体積が等しいようにする。これらの平面がx軸と交わる点のx座標のうちπ/2に最も近いものをa(n)とする。

(1) Kの体積を求めよ。
(2) lim(n→∞) n((π/2)-a(n))を求めよ。

わかる方、解き方を詳しく教えていただけないでしょうか?お願い致します。

回答No.2

noname2727 · ベストアンサー

（1）
V=π∫[0,π](sinx)^2dx=（π＾２）/２
（２）
このグラフはx＝π/2対象なのでan<π/2と仮定しても問題ない
2n個に分割するので
π∫[an,π/２](sinx)^2dx=π＾２　/4n　・・・（※）
　となる
（※）の左辺に平均値の定理を利用して、
π∫[an,π/２](sinx)^2dx＝π（π/２　-　an）(sinbn)^2　，an<bn<π/２　となるbnが存在する。
liman=π/2なのではさみうちの定理からlimbn=π/2

（π/2　-　an）n =　π/（4(sinbn)^2）→π/4　（n→∞）

よって
lim(n→∞) n((π/2)-a(n))＝π/４

かな？計算はミスしている可能性アリです。

お礼

ご丁寧な解説お忙しい中ありがとうございましたm(__)m ほんとうに助かりました!

回答No.1

info22_

(1)のみ
曲線y=sinx(0≦x≦π)をx軸の周りに回転させてできる立体Kを考える。
これは曲線の回転なので中が空洞の曲面が出来るだけで体積がありませんから体積はゼロです。

「曲線y=sinx(0≦x≦π)とx軸とで囲まれる図形をx軸の周りに回転させてできる立体Kを考える。」であれば体積が存在します。
この体積なら
　π∫[0,π] (sin(x))^2 dx=(π/2)∫[0,π] (1-cos(2x)) dx
=(π/2){x-(1/2)sin(2x)][0,π]
=(π/2)π
=(1/2)π^2 ...(1)の答え

(2)パス。
問題の内容がよくわかりません。

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございましたm(__)m 教えていただけたことを元に勉強いたします。