体積の計算

質問

次の集合Vの体積を求めよ。
(1)V={(x,y,z)|x^2+y^2≦a^2かつy^2+z^2≦a^2}(a>0)
(2)V={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦a^2かつ(x-a/2)^2+y^2≦a^2}

(1)を図示しようとすると何とも変な図形になってしまって、
自分のイメージではy^2+z^2≦aをy軸を軸に一回転した立体というイメージなのでy^2+z^2≦aを-aからaまで積分すれば求まるかと思ったのですが、それだと三重積分にならないですよね。

(2)は半径aとなる球ともう一方は底面を(x-a/2)^2+y^2≦a^2とする
円柱との共通部分の体積を求めろということですよね。
これに関しても切り口を-aからaまで積分すれば求まるのかな？
と漠然には思うのですがよくわかりません。

これらはどのように計算すればいいのでしょうか？

回答No.1

Kules · ベストアンサー

(1)は２つの円柱の共通部分の体積になるのでは？
ｚ軸に中心を持つ半径aの円柱Aと、ｘ軸に中心を持つ半径aの円柱Bの共通部分になると思います。
どちらでもいいんですが、ｘ＝uの時の２つの立体の断面を考えると、
Aは横がy=2√(a^2-u^2)で、縦は無限に伸びた長方形、Bは半径aの円になります。この共通部分の面積をuの式で表して、uを-aからaまで積分すればOKです。
(2)も考え方は同じです。ｚ＝uの時の２つの立体の断面を考えると、球の方はx^2=y^2=a^2-u^2という円、円柱の方は(x-a/2)^2+y^2=a^2の円です。この共通部分をuを用いて表し、-aからaまで積分します。