数学C?の質問です。この問題がわかりません

質問

放物線ｙ＝cosｘ(－π／2≦ｘ≦π／2)と
ｘ軸で囲まれた図形をｘ軸まわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

大学の課題なのですが数学IIIとCはとってないので解き方が分かりません。
図形はなんとなくイメージできるのすがどのように求めるのか知りたいのでどなたか回答お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

－π／2≦ｘ≦π／2の範囲のxのところで
回転立体の断面の円板(面積S=πy^2(半径y))に厚みdxを掛けて
xの範囲[-π/2→π/2]で積分すれば、体積Vが求まります。

　V=∫[-π/2→π/2] Sdx
　 =∫[-π/2→π/2]πy^2 dx
回転体半径y=cos(x)を代入して
　 =π∫[-π/2→π/2] cos^2(x) dx
2倍角の公式より
　=(π/2)∫[-π/2→π/2] 2cos^2(x) dx
　=(π/2)∫[-π/2→π/2] (1+cos(2x)) dx
　=(π/2)[x+(1/2)sin(2x)][-π/2→π/2]
　=(π/2){(π/2)+0-(-π/2+0)}
　= (1/2)π^2 ...(答え)

お礼

回答ありがとうございます！
最後の－π／2とπ／2を代入した時の計算ミスでした。
回答してくれた方々、助かりました！

回答No.1

Willyt

V=∫πy^2dx (-π/2～π/2の間）　が求める体積です。このｙにcos x を代入すればいいのです。コサインの二乗は倍角の公式を使えば cos2x で表される式に変換できますから積分はたちどころですよね。

お礼

迅速な回答ありがとうございます！

補足

解いてみたのですが何故か0になってしまいました…
途中式の方も分かりますか？