最小多項式について

質問

x=sqrt(2)-1　の最小多項式をもとめたいのですが、

x+1=sqrt(2)
両辺を2乗して　x^2+2x+1=2
整理して　　　x^2+2x-1=0

だからx^2+2x-1だと思うのですが、これが最小かどうかはどう示したらいいのでしょうか。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

◯ 結論だけ言えば、既約かを調べればよい。

有理数体をQ、実数体をRとして、a∈R の Q[x]における最小多項式を g(x)∈Q[x] とする。一方、f(x)∈Q[x] が R[x]においてaを根に持つとする。すると、f(x)をg(x)で「割って」、
f(x) = r(x)g(x) + s(x)、deg(g) > deg(s) （degはその多項式の最高次の次数）なるr(x), s(x)∈Q[x] があが、Rにおいてf(a) = r(a)g(a) + s(a) であるからs(a)=0。つまり s(x)は一次式以上ならR[x]においてaを根に持つが、これはg(x)がaの（Q[x]における）最小多項式であることに反するから、 s(x)≡0。

何が言いたいというと、f(x)∈Q[x] が R[x]においてaを根に持つとすれば、aの最小多項式g(x)で割り切れる。従って、f(x)が既約であれば、f(x)はaの最小多項式である。逆にf(x)が既約でなければ、aの最小多項式ではない。

◯ で、x^2+2x-1は二次式なので、既約でないとすればある一次式 x-bで割り切れる。（b∈Q）。これは、つまり x^2+2x-1 がb∈Qを根にもつ、という事なので、x^2+2x-1が有理数の根を持たなければ、x^2+2x-1は（Q[x]で）規約であり、従ってsqrt(2)-1の最小多項式である、ということになる。

お礼

回答ありがとうございまました。