正方行列の最小多項式の求め方は?

質問

4×4正方行列A
1/2,-1/2,1,1
1/2,-1/2,-1,-1
0,0,3/2,-3/2
0,0,3/2,-3/2
と
正方行列B
0,1,0,0
0,0,2,0
0,0,0,3
0,0,0,0
のそれぞれの最小多項式を求めたく思ってます。
求め方はA-xE,B-xEに基本行列変形を施して対角行列を求めて4行4列成分に現れた多項式がAの最小多項式になるのかと思います。

A
↓
1/2-x,-1/2,1,1
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
1/2-x,-1/2,1,1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,0,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1,0,0,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1,0,0,0
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x

と基本行列変形してみたのですがここから先の基本行列変形は分母にxが現れてしまい,どう進めていいのか困ってます。

そしてBについては
B
↓
-x,1,0,0
0,-x,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,-x,0,0
-x,0,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,0,0,0
-x,-x^2,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,0,0,0
0,-x^2,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x

とやはりここから先に進めません。
どのようにして求めたらいいのでしょうか?

回答No.1

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。最小多項式を求めるために、いろいろ苦労されて計算されていることが質問から読み取れますが、このまま基本変形を続けても難儀をするだけです。行列式に関する基本的な事柄を忘れているようです。
４次正方行列Ａに関して
1/2,-1/2, 1, 1
1/2,-1/2, -1, -1
0, 0, 3/2,-3/2
0, 0, 3/2,-3/2

A_11 を
1/2,-1/2
1/2,-1/2

A_12 を
1, 1
-1,-1

A_21 を
0,0
0,0

A_22 を
3/2,-3/2
3/2,-3/2

とすると４次の正方行列Ａは４つの2次正方行列

A_11　A_12
A_21　A_22

に区分けされます。このときＡの固有多項式を計算すると　A_21 が零行列ですから、

|A-xE|　=　|A_11 - xE|×|A_22 - xE|　=　x^4

です。よって、Ａの固有値は０で、最小多項式は x^4,x^3,x^2,x のいずれかです。これを調べるために A^3 を計算すると　A^3≠0 ですからAの最小多項式はx^4です。
ちなみにA^3を計算するのに本当にAを3回かけるのではなく、さきほどの4つに区分けした行列を使ってA^3 を計算してください。行列の区分けに関しては線型代数の教科書を読んでください。

次にＢに関してですが、Ｂ-xE は

-x,1,0,0
0,-x,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x

です。このとき

|B-xE| = x^4

となります。三角行列の行列式は対角行列の掛け算です。これは行列式の基本です。ですから、Ｂの固有値は０で、最小多項式は4,x^3,x^2,x のいずれかです。これを調べるために Ｂ^3 を計算すると　Ｂ^3≠0 ですからＢの最小多項式はx^4です。

お礼

ご解説有難うございます
このようにして解くのですね。
大変参考になりました。