最小多項式について

質問

2^(1/4)-2^(1/4)i のQ上の最小多項式て何でしょうか??

教えてくださいm(_ _)m

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

X^4+8です。

　　a = 2^(1/4)-2^(1/4)i

とすると、次が言えます。

[1] Q(a, i)⊃Q(a) ⊃Qで、 [Q(a, i):Q] = 8なので、[Q(a):Q]は8の約数。

[2] Q(a)には、aの複素共役も含まれるので、a×「aの複素共役」÷2= 2^(1/2)は、Q(a)の元。しかし、Q(2^(1/2))に虚数が含まれず、aが虚数なので、aは、Q(2^(1/2))に含まれない。したがって、[Q(a):Q]は2より大きい。

[3] a^4 = -8なので、aは、X^4+8の根。

[1]、[2]、[3]により、[Q(a):Q]=4であって、X^4+8がaの最小多項式であることが分かります。

お礼

回答ありがとうございました。

丁寧な説明、わかりやすかったです☆彡

回答No.2

ramayana

ANo.1です。
失礼しました。[2]はうそです。正しくは、次のように直してください。

[2] もし、[Q(a):Q]=2だとすると、Q(a)には、aの複素共役も含まれる（注）。すると、a×「aの複素共役」÷2= 2^(1/2)は、Q(a)の元。しかし、Q(2^(1/2))に虚数が含まれず、aが虚数なので、aは、Q(2^(1/2))に含まれない。したがって、[Q(a):Q]は2より大きくなければならない。これは、矛盾。よって、結局、[Q(a):Q]は2より大きい。

（注）aの複素共役をbとする。[Q(a):Q]=2だとすると、aは、Qを係数とするある2次式f(X)の根。すなわち、f(a)=0。両辺の複素共役をとって、f(b)=0。よって、bもf(X)の根。根と係数の関係により、b=「f(X)の定数項」/(a×「f(X)のX^2の係数」)。よって、bは、Q(a)に含まれる。