最小二乗多項式

質問

点列(0,-5),(1,2),(2,0),(3,3)を通る1次の最小二乗多項式を求めたいです。
解法、解答、お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>点列(0,-5),(1,2),(2,0),(3,3)を通る1次の最小二乗多項式を求めたいです。

「4つの点を通る一次式」と有りますがそのような一次の多項式は有りません。

4つの点(xi,yi),(i=1,2,3,4)から最小二乗法を用いての一次の近似式 y=ax+b を求めることはできます。

最小二乗法の適用するための二乗誤差の式Lは他の方も書いて見えますし、ネット上にも沢山ありますから詳細は省略して
結果だけ書きますと
L = Σ[i=1,4] (yi-axi-b)^2 = 14a^2 +12ab +4b^2 -22a -20b +38
となるのでこの二乗誤差Lを最小にするa,bを求めれば良いでしょう。

二乗誤差Lを最小にせる方法は色々ありますが、中高生でもできる二乗和を作る方法で考えて見ます。
L　= (3a+2b-5)^2 + 5(a+4/5)^2 + 49/5

Lは　「3a+2b-5＝0 かつ　a+4/5=0」　つまり　「a=-4/5, b=37/10」のとき
最小値「49/5」（最小二乗誤差）をとることが分かるでしょう。

このときの　a,b を　近似直線の式　y=ax+b に代入すれば　求める最小二乗法による
一次の近似式が得られます。

ご自分で、計算をやって確認してみてください。

回答No.3

alice_44

L の展開は、質問者にやって欲しかったんだがなぁ。
答えを与えるよりも、大切なことがある。

回答No.1

alice_44

http://okwave.jp/qa/q6396486.html　の続きですね。
その後、何を何処まで御自分でやってみられましたか？

その一次式を y = ax+b と置いて、
各点での一次式による近似誤差 ｜y-(ax+b)｜ の二乗和 L を
a,b の関数として表示してみましょう。
L = ｜5-(0a+b)｜^2 + ｜2-(1a+b)｜^2 + ｜0-(2a+b)｜^2 + ｜3-(3a+b)｜^2
となりすね。この式を、少し整理してみて下さい。

L が最小になるような a,b を見つけるには、
多変数関数の増減を調べる基本手技が必要になります。
知らなければ、「多変数関数　極値　偏微分」について調べてみた上で、
解らない点を補足質問して下さい。