数学 曲線の方程式

質問

曲線ｙ＝ｆ（ｘ）の点Ｐにおける接線がｘ軸と交わる点をＱ、ｙ軸と交わる点をＲとする。ＰＲ：ＰＱ＝ｋ：１（ｋ＞０）となるとき、曲線の方程式は
ｙ＝ａｘ＾-k
が正解だが、
ｙ＝ａｘ＾k
も成立するのではないか。

回答No.2

c0nfus1an1sm · ベストアンサー

f(x)の満たすべき微分方程式は
　f'(x)/f(x) = -k/x ---(A)
ですが，この解は
　f(x) = a x^(-k) (a>0 or a<0)
のみで，それ以外には解は存在しないと思います．

y=a x^k が題意を満たさない事は，例えばk=1（直線）で P と Q が共に原点になってしまう事からも分かります．

回答No.3

ferien

曲線ｙ＝ｆ（ｘ）の点Ｐにおける接線がｘ軸と交わる点をＱ、ｙ軸と交わる点をＲとする。ＰＲ：ＰＱ＝ｋ：１（ｋ＞０）となるとき、曲線の方程式は
＞ｙ＝ａｘ＾-k
＞が正解だが、
＞ｙ＝ａｘ＾k
＞も成立するのではないか。

ｙ＝ａｘ＾kの（０，０）における接線はｙ＝０（ｘ軸）で、このとき、ｘ軸と交わることはありません。このような、上の条件を満たさない例外もあるので、答えとしていないのだと思います。

ｙ＝ａｘ＾-kは、ｘ＝０では定義されていないので、ａが０でなければ、接線の傾きが０になることはないので、接線がｙ＝０になることはありません。

どうでしょうか？（グラフを描いてみても分かります。）

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

yyssaa

P=P(u,v)、R=R(0,r)とすると
PR/PQ=(v-r)/v=k
v-r=vk
(v-r)/u=f'(u)
vk=uf'(u)
v=f(u)だから
kf(u)=uf'(u)
u=x、f(x)=yとすると
ky=xdy/dx
(1/y)dy=k(1/x)dx
logを自然対数として
log|y|=klog|x|+loga(積分定数)
|y|=a|x|^k
になったけど、y=ax^-kが不明です。

お礼

この絶対値をどうはずすかで悩みました。