ベクトルの書き換えと係数和が1

質問

Aベクトルを→Aと書きます、お願いします。
ベクトルの問題で→NL=k(→NR)のkが、RはNとLを結ぶ直線上にあることから求められないので、質問します。
問題は、
四面体OABCの辺OA,OCの中点を、それぞれL,Mとし、辺OBを2:1に外分する点をNとする。直線ABとLN、直線BCとMNの交点を、それぞれR,Sとするとき、RS//LMであることを証明せよ。

自分は、→NL=k(→NR),→OL-→ON=k(→OR)-k(→ON),(k-1)(→ON)+→OL=k(→OR),
{(k-1)/k}→ON+(1/k)(→OL)=→ORここでRは直線NL上にあるから、{(k-1)/k}+(1/k)=1,k/k=1となりkの値が求まりませんでした。

解答では、→OA=→a,→OB=→b,→OC=→cとする。
条件から、→OL=(1/2)(→a),→OM=(1/2)(→c),→ON=2(→b)
3点N,R,Lは１直線上にあるから→NR=s(→NL)(sは実数)と表される。ゆえに、→OR→-→ON=s(→OL-→ON)よって
→OR=(1-s)(→ON)+s(→OL),s*(1/2)(→a)+(1-s)*2(→b)
Rは直線AB上の点だから　s/2+2(1-s)=1これを解いてs=2/3 ゆえに　
→NR=(2/3)(→NL)・・・(1)

Rは直線AB上の点だから,→NRは→NLの何倍かが求まり。Rは直線NL上にあるから→NR=(1/k)(→NL)を満たすｋが求まらないのはなぜでしょうか、どなたか教えてください。・・・(☆)

解答のつづきは、また３点N,S,Mは1直線上にあるから、→NS=t(→NM)(tは実数)と表される。始点をOにして表し、
→OS=(1-t)*2(→b)+t*(1/2)(→c),SはBC上の点であるから、2(1-t)+t/=1 これを解いて、t=2/3
ゆえに→NS=(2/3)(→NM)・・・(2)
(1),(2)から→RS=→NS-→NR=(2/3)(→NM-→NL)=(2/3)(→LM)したがってRS//LM。
でした。どなたか(☆)の疑問について教えてくださいお願いします。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

蛇足。

>ここまで係数が k のみ…
>　OL (=a/2)
>　ON (=2b)
>　OM (=c/2)
>を利用しないと、解けません。

3 次元の問題なので、3 次元基底を想定しないと一意解を得られない
… のです。

お礼

基底などはまだ知らないですが、解説してくれてありがとうございます。

回答No.5

178-tall

錯誤を訂正。
　　↓
>この問題では、ベクトル a, b ,c が 一平面上にないので、「基底」として利用できる。

この問題では、ベクトル a, b ,c が 一直線上にないので、「基底」として利用できる。

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.4

178-tall

>基底などはまだ知らないですが…

3 次元ベクトル空間の「基底」とは、そのベクトル空間の任意要素を一意的に表現できる「1 次独立」な 3 つのベクトル。
この問題では、ベクトル a, b ,c が 一平面上にないので、「基底」として利用できる。

それを知らずには解けぬ問題なので、もう習ってるはず。

お礼

基底という言葉は本にのっていなかったですが、その内容については本にのっていました。
ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>自分は、→NL=k(→NR),→OL-→ON=k(→OR)-k(→ON),(k-1)(→ON)+→OL=k(→OR),{(k-1)/k}→ON+(1/k)(→OL)=→OR　ここでRは直線NL上にあるから、{(k-1)/k}+(1/k)=1,k/k=1となりkの値が求まりませんでした。

(ベクトルの → を省略)
　NL = k*NR
　OL - ON = k*OR - k+ON
　(k-1)*ON + OL = k*OR
　{(k-1)/k}*ON +(1/k)*OL = OR

ここまで係数が k のみ…
　OL (=a/2)
　ON (=2b)
　OM (=c/2)
を利用しないと、解けません。

お礼

なにか方程式が解ける、解けないについての知識が必要な気がしました。お返事ありがとうございます。

回答No.1

f272

「解答」では「3点N,R,Lは１直線上にある」ことから始めて，「Rは直線AB上の点」と言うことを使ってsを求めています。
ところが，あなたは「→NL=k(→NR)」と言うようにRは直線NL上にあることから始めています。そしていろいろと計算をした後に「ここでRは直線NL上にあるから」と言うのですが，前提を繰り返すだけではどうしようもありません。kの値を決めるにはRが2つの平行でない直線(NLとAB)上にあることを使わなければいけません。
2つの平行でない直線の交点として点Rは決定できるのです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。