数学のベクトルの問題です。

質問

Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。
辺OAの中点をP、辺OBを２：１に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC
となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。（ベクトルは省略させてください）

（１）直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。

（２）直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞Oを頂点とし、平行四辺形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDがある。
＞ 辺OAの中点をP、辺OBを２：１に内分する点をQとし、直線OC上にOR=kOC
＞ となる点Rをとる。ただし、Kは実数の定数である。（ベクトルは省略させてください）
OP＝(1/2)OA，OQ＝(2/3)OB，OR＝kOC
平行四辺形ABCDだから、AB＝DCより、OB－OA＝OC－OD　だから、OD＝OA＋OC－OB

＞（１）直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。
DQとPRの交点をEとする。
△OACで、PE:ER＝ｓ:1-sとすると、
OE＝(1-s)OP＋sOR＝(1-s)・(1/2)OA＋s・kOC
＝(1/2)(1-s)OA＋ksOC　……(1)
△OBDで、QE：ED＝t：1-tとすると、
OE＝(1-t)OQ＋tOD＝(1-t)・(2/3)OB＋tOD
＝(2/3)(1-t)OB＋t(OA＋OC－OB）
＝tOA＋{(2/3)－(5/3)t}OB＋tOC　……(2)
(1)(2)より、係数比較すると、
(1/2)－(1/2)s＝t，(2/3)－(5/3)t＝0，ks＝t
連立で解くと、
t＝2/5，s＝1/5，k＝2
よって、k＝2

＞（２）直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。
平面PQRから、P,Q,Rは一直線上にないから、Rは直線PQ上にない。
直線PQ上の１点をFとすると、
直線RFは、平面PQR上の直線だから、直線RFが直線ODと平行であれば、
直線ODと平面PQRは平行である。
RF＝mODとおくと、
OF－OR＝m(OA＋OC－OB)
OF＝kOC＋mOA＋mOC－mOB
＝mOA－mOB＋(k+m)OC　……(3)

点Fは、直線PQ上の点だから、
PF：FQ＝n：1-nとすると、
OF＝(1-n)OP＋nOQ＝(1-n)・(1/2)OA＋n・(2/3)OB
＝(1/2)(1-n)OA＋(2/3)nOB　……(4)
(3)(4)より、係数比較すると、
m＝(1/2)－(1/2)n，-m＝(2/3)n，k＋m＝0
連立で解くと、
m＝2，n＝-3，k＝-2
よって、k＝-2

でどうでしょうか？　確認してみてください。

お礼

ありがとうございます！
助かりました。

説明、分かりやすかったです！

回答No.2

yyssaa

（１）直線DQと直線PRが交わるとき、Kの値を求めよ。
＞ベクトルを↑で表し、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、↑OD=↑d
とします。
↑PR=↑OR-↑OP=k↑c-(1/2)↑a
↑QD=↑OD-↑OQ=↑d-(2/3)↑b
直線DQと直線PRが交わるなら、4点P、Q、R、Dは同一平面上にある
ので、s、tを実数定数として、↑PQ=s↑PR+t↑QDが成り立つ。
↑PQ=↑OQ-↑OP=(2/3)↑b-(1/2)↑aだから
(2/3)↑b-(1/2)↑a=s↑PR+t↑QD=sk↑c-(s/2)↑a+t↑d-(2t/3)↑b
整理して、
(1-s/2)↑a-(2/3)*(t+1)↑b+sk↑c+t↑d=0・・・・・(ア)
↑AB=↑b-↑a、↑DC=↑c-↑d、平行四辺形ABCDだから、↑AB=↑DC、
よって、↑b-↑a=↑c-↑d、↑d=↑a-↑b+↑c・・・・・(イ)
(イ)を(ア)に代入、整理
(1-s/2+t)↑a-{(5/3)t+(2/3)}↑b+(sk+t)↑c=0・・・・・(ウ)
↑a、↑b、↑cは互いに一次独立なので、(ウ)が成り立つためには
(1-s/2+t)=0、(5/3)t+(2/3)=0、sk+t=0が成り立つ必要がある。
よって、t=-2/5、s=6/5、k=-t/s=1/3・・・答
（２）直線ODと平面PQRが平行であるとき、Kの値を求めよ。
＞直線ODと平面PQRが平行であれば、u、vを実数定数として
↑d=u↑PQ+v↑QRが成り立つ。↑QR=↑OR-↑OQ=k↑c-(2/3)↑b
↑d=(2u/3)↑b-(u/2)↑a+vk↑c-(2v/3)↑b、(イ)を代入、整理
(1+u/2)↑a-(1+2u/3-2v/3)↑b+(1-vk)↑c=0
↑a、↑b、↑cは互いに一次独立なので、
1+u/2=0、1+2u/3-2v/3=0、1-vk=0
u=-2、v=-1/2、k=1/v=-2・・・答

回答No.1

static_puts

完解すると勉強にならないと思いますので、誘導・解法方針説明を中心に書きます。

まず、頂点Oから見るものとし、立体なので3本のベクトルを選んで全てを記述することにします。ここでは仮に、ベクトルOA,OB,OCを使うこととしましょう。

ベクトルOD,OP,OQ,ORはOA,OB,OCを用いて簡単に表せますよね(図を書いて計算してみてください)。
これが準備です。

(1) これまでの準備を用いて、計算過程だけ示します。
1.ベクトルDQとベクトルPRをOA,OB,OCを用いて表現します。
2.直線DQとPRが交わることから、定数i,jを用いてOD+iDQ=OP+jPRという関係が得られます。これをOA,OB,OCだけで表しましょう。
3.OA,OB,OCは線形独立ですので、左辺/右辺の(OA,OB,OC)の各係数は等しくならなければなりません。これによってi,j,kに関する連立方程式が得られるはずです。
4.この連立方程式をとけばkの値が得られます。

(2) 平面PQR上の任意のベクトルは、ベクトルPQとベクトルPRの線形結合によって表されます。これがベクトルODと同じになれば良いのです。
1.OD=sPQ+tPRとします。
2.OD,PQ,PRをOA,OB,OCだけで表しましょう。
3.やはり連立方程式ができますので、これをとけばs,t,kが定まりますね。

以上でいかがでしょうか。