またまたベクトルです

質問

五角形ABCDEにおいてAB=BC=DE=EA=1,　∠A=135°∠B＝∠E＝90°とする。

　　　　　　　　　　　　　　　　→　　　→　　　→
　実数s, tに対して、点PをAP = sAB + tAEにより定める。
　点Pが2点C,Dを通る直線上にあるためのs,tの条件を求めよ。

よろしくご教授ください。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞ベクトルABを↑ABと表します。AB=BC=DE=EA=1、∠B＝∠E＝90°から
△ABCと△ADEは合同で、等辺の長さが1、頂角が90°の二等辺直角三角形。
よって、∠BAC=∠DAE=45°、∠A=135°だから∠CAD=45°となり、
∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°、∠CAE=∠CAD+∠DAE=90°、よってAD//BC、AC//ED
三平方の定理よりAC=AD=√2だから、↑AD=√2↑BC、↑AC=√2↑ED、
↑AB=↑AC-↑BC=√2↑ED-(1/√2)↑AD、↑AE=↑AD-↑ED、
よって、↑AP=s↑AB+t↑AE=s{√2↑ED-(1/√2)↑AD}+t(↑AD-↑ED)
={t-(s/√2)}↑AD+(s√2-t)↑ED
点Pが2点C,Dを通る直線上にあるためには、uを実数として↑AC+u↑CD=↑AP
が成り立つ必要があり、↑AC=√2↑ED、↑CD=↑AD-↑AC=↑AD-√2↑EDだから
代入して√2↑ED+u(↑AD-√2↑ED)={t-(s/√2)}↑AD+(s√2-t)↑ED
u↑AD+(1-u)√2↑ED={t-(s/√2)}↑AD+(s√2-t)↑ED、両辺の係数を比較して
u=t-(s/√2)、(1-u)√2=(s√2-t)、uを消去してs+t=2+√2・・・答

お礼

大変よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.2

USB99

ABを延長してCDの延長と交わる点をF、AEを延長してCDの延長と交わる点をGとすると角BFC=π/8
BC=1よリBF=1/tan π/8= 1/√2―1=1+√2 ∴AF=(2+√2)AB 同様にAG=(2+√2)AE
求める直線はFG上の点であるから
uAF+(1ーu)AG=u(2+√2)AB十(1ーu)(2+√2)AE
よってs= u(2+√2) t=(1-u)(2+√2)∴s+t=2+√2

お礼

ありがとうございました。参考になりました。